التكامل غير المحدد للدوال المثلثية/ محاضرة 15

لحل التكامل عندما تكون الدالة المثلثية أسية والمشتقة غير متوفرة، يمكن استخدام التكامل بالأجزاء أو التغيير المناسب للمتغير حسب طبيعة الدالة.

قاعدة التكامل بالأجزاء:

إذا كان التكامل على الشكل:

$$\int u \, dv$$

فإننا نستخدم القاعدة:

$$\int u \, dv = u v – \int v \, du$$

مثال عام:

لنفترض أن لدينا تكامل من الشكل:

$$\int e^x \sin(x) \, dx$$

نستخدم التكامل بالأجزاء مرتين. نختار:

• $u = \sin(x)$, وبالتالي $du = \cos(x) \, dx$
• $dv = e^x \, dx$, وبالتالي $v = e^x$

بتطبيق قاعدة التكامل بالأجزاء:

$$I = \int e^x \sin(x) \, dx$$ $$I = e^x \sin(x) – \int e^x \cos(x) \, dx$$

نكرر التكامل بالأجزاء على $\int e^x \cos(x) \, dx$ بنفس الطريقة، ثم نجمع المعادلات لحل التكامل.

السؤال هو:

$$\int \cos^4(3x) \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \cos^4(3x) \, dx$$

الخطوة 1: استخدام متطابقة نصف الزاوية

نستخدم المتطابقة:

$$\cos^2 A = \frac{1 + \cos(2A)}{2}$$

وبالتالي:

$$\cos^4(3x) = (\cos^2(3x))^2 = \left( \frac{1 + \cos(6x)}{2} \right)^2$$

نوسع المربع:

$$\cos^4(3x) = \frac{1 + 2\cos(6x) + \cos^2(6x)}{4}$$

الخطوة 2: استبدال في التكامل

نكتب التكامل على الشكل:

$$I = \int \frac{1 + 2\cos(6x) + \cos^2(6x)}{4} \, dx$$

نوزع التكامل:

$$I = \frac{1}{4} \int 1 \, dx + \frac{2}{4} \int \cos(6x) \, dx + \frac{1}{4} \int \cos^2(6x) \, dx$$

الخطوة 3: حساب التكاملات الجزئية

نعرف أن:

$$\int 1 \, dx = x$$ $$\int \cos(6x) \, dx = \frac{\sin(6x)}{6}$$

وبما أن:

$$\cos^2(6x) = \frac{1 + \cos(12x)}{2}$$

فإن:

$$\int \cos^2(6x) \, dx = \int \frac{1 + \cos(12x)}{2} \, dx$$ $$= \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos(12x) \, dx$$ $$= \frac{x}{2} + \frac{\sin(12x)}{24}$$

الخطوة 4: تجميع النتائج

$$I = \frac{1}{4} x + \frac{2}{4} \cdot \frac{\sin(6x)}{6} + \frac{1}{4} \left( \frac{x}{2} + \frac{\sin(12x)}{24} \right) + C$$ $$I = \frac{x}{4} + \frac{\sin(6x)}{12} + \frac{x}{8} + \frac{\sin(12x)}{96} + C$$ $$I = \frac{3x}{8} + \frac{\sin(6x)}{12} + \frac{\sin(12x)}{96} + C$$

النتيجة النهائية:

$$\int \cos^4(3x) \, dx = \frac{3x}{8} + \frac{\sin(6x)}{12} + \frac{\sin(12x)}{96} + C$$

وهذا هو الحل النهائي. 😊

السؤال هو:

$$\int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx$$

الخطوة 1: استخدام متطابقة نصف الزاوية

نستخدم المتطابقة:

$$\sin^2(x) = \frac{1 – \cos(2x)}{2}, \quad \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$$

إذن:

$$\sin^2(x) \cos^2(x) = \left( \frac{1 – \cos(2x)}{2} \right) \left( \frac{1 + \cos(2x)}{2} \right)$$

وباستخدام متطابقة الفرق بين المربعين:

$$(1 – \cos(2x))(1 + \cos(2x)) = 1 – \cos^2(2x)$$

نحصل على:

$$\sin^2(x) \cos^2(x) = \frac{1 – \cos^2(2x)}{4}$$

الخطوة 2: استبدال في التكامل

$$I = \int \frac{1 – \cos^2(2x)}{4} \, dx$$ $$I = \frac{1}{4} \int (1 – \cos^2(2x)) \, dx$$

الخطوة 3: حساب التكاملات الجزئية

نعرف أن:

$$\int 1 \, dx = x$$

وباستخدام المتطابقة:

$$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$$

نحصل على:

$$\int \cos^2(2x) \, dx = \int \frac{1 + \cos(4x)}{2} \, dx$$ $$= \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos(4x) \, dx$$ $$= \frac{x}{2} + \frac{\sin(4x)}{8}$$

الخطوة 4: تجميع النتائج

$$I = \frac{1}{4} \left( x – \frac{x}{2} – \frac{\sin(4x)}{8} \right) + C$$ $$I = \frac{x}{4} – \frac{x}{8} – \frac{\sin(4x)}{32} + C$$ $$I = \frac{x}{8} – \frac{\sin(4x)}{32} + C$$

النتيجة النهائية:

$$\int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx = \frac{x}{8} – \frac{\sin(4x)}{32} + C$$

وهذا هو الحل النهائي. 😊

السؤال هو:

$$\int \cos(2x) \cos^2(x) \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \cos(2x) \cos^2(x) \, dx$$

الخطوة 1: استخدام المتطابقات المثلثية

نستخدم المتطابقة:

$$\cos(2x) = 2\cos^2(x) – 1$$

وبالتعويض في التكامل:

$$I = \int (2\cos^2(x) – 1) \cos^2(x) \, dx$$

نوزع القوس:

$$I = \int \left( 2\cos^4(x) – \cos^2(x) \right) \, dx$$

الخطوة 2: استخدام متطابقة نصف الزاوية

نستخدم:

$$\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$$

وبالتالي:

$$\cos^4(x) = \left( \frac{1 + \cos(2x)}{2} \right)^2$$ $$= \frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$$

الخطوة 3: استبدال القيم في التكامل

$$I = \int \left[ 2 \times \frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4} – \frac{1 + \cos(2x)}{2} \right] dx$$ $$= \int \left[ \frac{2 + 4\cos(2x) + 2\cos^2(2x)}{4} – \frac{1 + \cos(2x)}{2} \right] dx$$

نرتب الحدود:

$$I = \int \left[ \frac{2 + 4\cos(2x) + 2\cos^2(2x) – 2 – 2\cos(2x)}{4} \right] dx$$ $$= \int \left[ \frac{2\cos(2x) + 2\cos^2(2x)}{4} \right] dx$$ $$= \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx + \frac{1}{2} \int \cos^2(2x) \, dx$$

الخطوة 4: حساب التكاملات الجزئية

نعرف أن:

$$\int \cos(2x) \, dx = \frac{\sin(2x)}{2}$$

وباستخدام:

$$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$$

نحسب:

$$\int \cos^2(2x) \, dx = \int \frac{1 + \cos(4x)}{2} \, dx$$ $$= \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos(4x) \, dx$$ $$= \frac{x}{2} + \frac{\sin(4x)}{8}$$

الخطوة 5: تجميع النتائج

$$I = \frac{1}{2} \times \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{x}{2} + \frac{\sin(4x)}{8} \right) + C$$ $$I = \frac{\sin(2x)}{4} + \frac{x}{4} + \frac{\sin(4x)}{16} + C$$

النتيجة النهائية:

$$\int \cos(2x) \cos^2(x) \, dx = \frac{x}{4} + \frac{\sin(2x)}{4} + \frac{\sin(4x)}{16} + C$$

وهذا هو الحل النهائي. 😊

السؤال هو:

$$\int \cos^2(2x) \sin(x) \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \cos^2(2x) \sin(x) \, dx$$

الخطوة 1: تغيير المتغير

نلاحظ أن مشتقة $\cos(2x)$ مرتبطة بـ $\sin(x)$.
نستخدم التغيير التالي:

$$u = \cos(2x)$$

نشتق الطرفين:

$$\frac{du}{dx} = -2\sin(2x)$$

وبما أن $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$، نحصل على:

$$du = -4\sin(x) \cos(x) dx$$

لكن التكامل يحتوي على $\sin(x)$ فقط، لذلك نحاول إعادة كتابة التكامل بطريقة مناسبة.

الخطوة 2: استخدام متطابقة نصف الزاوية

نستخدم المتطابقة:

$$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$$

وبالتعويض في التكامل:

$$I = \int \frac{1 + \cos(4x)}{2} \sin(x) \, dx$$

نوزع التكامل:

$$I = \frac{1}{2} \int \sin(x) \, dx + \frac{1}{2} \int \cos(4x) \sin(x) \, dx$$

الخطوة 3: حساب التكاملات الجزئية

نعرف أن:

$$\int \sin(x) \, dx = -\cos(x)$$

أما التكامل الثاني، فنستخدم متطابقة الضرب:

$$\cos(A) \sin(B) = \frac{1}{2} \left[ \sin(A+B) – \sin(A-B) \right]$$ $$\cos(4x) \sin(x) = \frac{1}{2} \left[ \sin(5x) – \sin(3x) \right]$$

وبالتالي:

$$\int \cos(4x) \sin(x) \, dx = \frac{1}{2} \int \left[ \sin(5x) – \sin(3x) \right] dx$$ $$= \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos(5x)}{5} + \frac{\cos(3x)}{3} \right]$$ $$= -\frac{\cos(5x)}{10} + \frac{\cos(3x)}{6}$$

الخطوة 4: تجميع النتائج

$$I = \frac{1}{2} (-\cos(x)) + \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos(5x)}{10} + \frac{\cos(3x)}{6} \right) + C$$ $$I = -\frac{\cos(x)}{2} – \frac{\cos(5x)}{20} + \frac{\cos(3x)}{12} + C$$

النتيجة النهائية:

$$\int \cos^2(2x) \sin(x) \, dx = -\frac{\cos(x)}{2} – \frac{\cos(5x)}{20} + \frac{\cos(3x)}{12} + C$$

وهذا هو الحل النهائي. 😊