التكامل غير المحدد للدوال المثلثية/ محاضرة 11

التكامل غير المحدد للدوال المثلثية هو أحد الموضوعات المهمة في حساب التفاضل والتكامل، حيث يتم إيجاد التكاملات للدوال المثلثية باستخدام قواعد محددة وتقنيات مختلفة مثل التكامل المباشر، والتعويض، والتكامل بالأجزاء.

أشهر تكاملات الدوال المثلثية

1. تكامل الدوال المثلثية الأساسية:
   • $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
   • $\int \cos x \, dx = \sin x + C$
   • $\int \tan x \, dx = \ln |\sec x| + C$
   • $\int \cot x \, dx = \ln |\sin x| + C$
   • $\int \sec x \, dx = \ln |\sec x + \tan x| + C$
   • $\int \csc x \, dx = \ln |\csc x – \cot x| + C$
2. تكامل الدوال المثلثية المرفوعة لأسس:
   • إذا كانت القوة زوجية:
     • يتم استخدام الهويات المثلثية مثل: $$\sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$
   • إذا كانت القوة فردية:
     • يتم الفصل إلى عامل من الدرجة الأولى ثم استخدام التعويض.
3. تكامل حاصل ضرب الدوال المثلثية:
   • إذا كان التكامل من الشكل $\int \sin^m x \cos^n x \, dx$، يتم استخدام:
     • التعويض $u = \sin x$ أو $u = \cos x$ حسب الأسس.
   • إذا كانت الدوال مختلفة، يمكن استخدام الصيغ: $$\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$$ $$\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) – \cos(A+B)]$$ $$\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) + \cos(A+B)]$$
4. التكامل باستخدام التعويض:
   • إذا كان لدينا دالة مثل $\int \sin(ax + b) \, dx$، نستخدم $u = ax + b$.
   • عند وجود دالة كسرية مثل $\int \frac{dx}{1 + \sin x}$، يمكن استخدام التحويلات المثلثية.
5. التكامل بالأجزاء:
   • مفيد في الحالات التي تحتوي على جداء بين دالة مثلثية ودالة أخرى مثل اللغاريتم أو القوى، باستخدام القاعدة: $$\int u dv = uv – \int v du$$

مثال تطبيقي

احسب التكامل التالي:

$$\int \sin^3 x \cos x \, dx$$

الحل:

• نستخدم التعويض: $u = \sin x$ بحيث $du = \cos x dx$.
• يصبح التكامل: $$\int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C$$

اسئلة حول الموضوع

السؤالهو:

$$\int (\cos x + x^{-2}) \, dx$$

أي أنه المطلوب هو إيجاد التكامل غير المحدد للدالة $\cos x + x^{-2}$. ؟

لحل التكامل:

$$I = \int (\cos x + x^{-2}) \, dx$$

نقوم بتقسيم التكامل إلى جزأين:

$$I = \int \cos x \, dx + \int x^{-2} \, dx$$

حساب التكامل الأول:

$$\int \cos x \, dx = \sin x + C_1$$

حساب التكامل الثاني:

نستخدم قاعدة تكامل القوى:

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad \text{لـ} \quad n \neq -1$$

هنا $n = -2$، فنحصل على:

$$\int x^{-2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x} + C_2$$

النتيجة النهائية:

$$I = \sin x – \frac{1}{x} + C$$

حيث $C$ هو ثابت التكامل.

السؤال هو:

$$\int \frac{\sec^2 \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^2}} \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \frac{\sec^2 \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^2}} \, dx$$

الخطوة 1: إعادة كتابة التعبير باستخدام القوى

نستخدم الصيغة الأسية للجذور:

$$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}, \quad \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$$

إذن يمكننا إعادة كتابة التكامل بالشكل التالي:

$$I = \int \frac{\sec^2 (x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}} \, dx$$

الخطوة 2: استخدام التعويض

نضع:

$$t = x^{\frac{1}{3}}$$

ثم نشتق:

$$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}$$

وبالتالي:

$$dx = 3 x^{\frac{2}{3}} dt$$

الخطوة 3: استبدال في التكامل

بالتعويض نحصل على:

$$I = \int \frac{\sec^2 t}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 3 x^{\frac{2}{3}} dt$$

نلاحظ أن $x^{\frac{2}{3}}$ في البسط والمقام يتم تبسيطه، فيتبقى:

$$I = \int 3 \sec^2 t \, dt$$

الخطوة 4: حساب التكامل

نعلم أن:

$$\int \sec^2 t \, dt = \tan t$$

إذن:

$$I = 3 \tan t + C$$

وبالرجوع إلى $t = x^{\frac{1}{3}}$:

$$I = 3 \tan (x^{\frac{1}{3}}) + C$$

الإجابة النهائية:

$$\int \frac{\sec^2 \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^2}} \, dx = 3 \tan (x^{\frac{1}{3}}) + C$$

السؤال  هو:

$$\int \frac{\csc^2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \frac{\csc^2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx$$

الخطوة 1: استخدام التعويض

نضع:

$$t = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$$

ثم نشتق:

$$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$$

وبالتالي:

$$dx = 2\sqrt{x} \, dt = 2t \, dt$$

الخطوة 2: استبدال في التكامل

بالتعويض في التكامل الأصلي، نحصل على:

$$I = \int \frac{\csc^2 t}{t} \cdot 2t \, dt$$

نلاحظ أن $t$ في البسط والمقام يتم تبسيطه، فيتبقى:

$$I = \int 2 \csc^2 t \, dt$$

الخطوة 3: حساب التكامل

نعلم أن:

$$\int \csc^2 t \, dt = -\cot t$$

إذن:

$$I = -2 \cot t + C$$

وبالرجوع إلى $t = \sqrt{x}$:

$$I = -2 \cot (\sqrt{x}) + C$$

الإجابة النهائية:

$$\int \frac{\csc^2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx = -2 \cot (\sqrt{x}) + C$$