الجذور التكعيبية للواحد الصحيح الجزء الخامس

الرياضيات للصف السادس العلمي الجذور التكعيبية للواحد الصحيح الجزء الخامس

 

 

الجذور التكعيبية للواحد الصحيح – الأوميغا

في علم الرياضيات، تُعرَّف الجذور التكعيبية للعدد 1 بأنها القيم التي تحقق المعادلة:

z3=1z^3 = 1

وهذه القيم هي:

1,ω,ω21, \omega, \omega^2

حيث:

ω=−1+3i2,ω2=−1−3i2\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}, \quad \omega^2 = \frac{-1 – \sqrt{3}i}{2}

وتمتاز هذه القيم بالخصائص التالية:

ω3=1,1+ω+ω2=0\omega^3 = 1, \quad 1 + \omega + \omega^2 = 0

حل المسألة

معطيات المسألة:

x=2+3i,y=2−3ix = 2 + \sqrt{3}i, \quad y = 2 – \sqrt{3}i

والمطلوب حساب:

(ω2)(x2)+ω(y2)(\omega^2)(x^2) + \omega(y^2)

حساب مربعي xx وyy:

x2=(2+3i)2=4+43i+3i2x^2 = (2 + \sqrt{3}i)^2 = 4 + 4\sqrt{3}i + 3i^2

بما أن i2=−1i^2 = -1، فإن:

x2=4+43i−3=1+43ix^2 = 4 + 4\sqrt{3}i – 3 = 1 + 4\sqrt{3}i

وبالمثل، نحسب y2y^2:

y2=(2−3i)2=4−43i+3i2y^2 = (2 – \sqrt{3}i)^2 = 4 – 4\sqrt{3}i + 3i^2

y2=4−43i−3=1−43iy^2 = 4 – 4\sqrt{3}i – 3 = 1 – 4\sqrt{3}i

حساب التعبير المطلوب:

(ω2)(x2)+ω(y2)(\omega^2)(x^2) + \omega(y^2)

باستخدام القيم المعروفة للأوميغا، نجد:

ω2(1+43i)+ω(1−43i)\omega^2 (1 + 4\sqrt{3}i) + \omega (1 – 4\sqrt{3}i)

بتوزيع ω\omega و ω2\omega^2 داخل القوسين:

ω2+43iω2+ω−43iω\omega^2 + 4\sqrt{3}i \omega^2 + \omega – 4\sqrt{3}i \omega

باستخدام خواص الأوميغا:

ω2+ω+43i(ω2−ω)\omega^2 + \omega + 4\sqrt{3}i (\omega^2 – \omega)

لكن بما أن:

ω+ω2=−1\omega + \omega^2 = -1

فإن التعويض يعطينا:

−1+43i(ω2−ω)-1 + 4\sqrt{3}i (\omega^2 – \omega)

ومن خصائص الأوميغا:

ω2−ω=−3i2−3i2=−3i\omega^2 – \omega = \frac{-\sqrt{3}i}{2} – \frac{\sqrt{3}i}{2} = -\sqrt{3}i

بالتعويض:

−1+43i(−3i)-1 + 4\sqrt{3}i (-\sqrt{3}i)

ونعلم أن i2=−1i^2 = -1، وبالتالي:

−1+4×3=−1+12=11-1 + 4 \times 3 = -1 + 12 = 11

النتيجة النهائية:

11\boxed{11}

وبذلك، نجد أن قيمة التعبير المطلوب تساوي 11.

 

سوال اخر من المحاضرة

 

تقرير حول الجذور التكعيبية للعدد 1 وتكوين المعادلة التربيعية

مقدمة: الجذور التكعيبية للعدد 1 هي أعداد مركبة تلعب دورًا أساسيًا في الجبر وعلم الأعداد المركبة. تُستخدم هذه الجذور في العديد من التطبيقات في الرياضيات والهندسة.

تعريف الجذور التكعيبية للعدد 1: الجذور التكعيبية للوحدة هي الأعداد التي تحقّق المعادلة:

x3−1=0x^3 – 1 = 0

وبتحليل هذه المعادلة، نحصل على الجذور التالية:

1,ω,ω21, \omega, \omega^2

حيث:

ω=e2πi/3=−1+3i2,ω2=e−2πi/3=−1−3i2\omega = e^{2\pi i / 3} = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}, \quad \omega^2 = e^{-2\pi i / 3} = \frac{-1 – \sqrt{3}i}{2}

تكوين المعادلة التربيعية: المطلوب هو تكوين معادلة تربيعية جذراها هما:

1+ω2,1+ω1 + \omega^2, \quad 1 + \omega

  1. حساب مجموع الجذرين:

(1+ω2)+(1+ω)=2+ω+ω2(1 + \omega^2) + (1 + \omega) = 2 + \omega + \omega^2

وبما أن:

ω+ω2=−1\omega + \omega^2 = -1

فإن المجموع يكون:

2−1=12 – 1 = 1

  1. حساب حاصل ضرب الجذرين:

(1+ω2)(1+ω)(1 + \omega^2)(1 + \omega)

باستخدام التوزيع:

=1+ω+ω2+ω⋅ω2= 1 + \omega + \omega^2 + \omega \cdot \omega^2

وحيث أن:

ω⋅ω2=ω3=1\omega \cdot \omega^2 = \omega^3 = 1

فإن الحاصل يكون:

1+ω+ω2+1=21 + \omega + \omega^2 + 1 = 2

  1. تكوين المعادلة التربيعية: بما أن مجموع الجذرين هو 1 وحاصل ضربهما هو 2، فإن المعادلة التربيعية تأخذ الشكل:

x2−(مجموعالجذرين)x+(حاصلالضرب)=0x^2 – (مجموع الجذرين) x + (حاصل الضرب) = 0

وبالتعويض:

x2−x+2=0x^2 – x + 2 = 0

الخاتمة: بهذا نكون قد استنتجنا أن المعادلة التربيعية التي جذراها 1+ω21 + \omega^2 و1+ω1 + \omega هي:

x2−x+2=0x^2 – x + 2 = 0

وهذه المعادلة تلعب دورًا مهمًا في الجبر وعلم الأعداد المركبة، وتظهر في العديد من التطبيقات الرياضية والهندسية.

المحاضرة السابق
رجوع إلى الدرس
المحاضرة التالي