الفصل الرابع / مراجعة التكامل للدوال المثلثية – الجزء الثاني

الرياضيات للصف السادس العلمي الفصل الرابع / مراجعة التكامل للدوال المثلثية – الجزء الثاني

 

المحاضرة عبارة عن مراجعة التكامل للدوال المثلثية اذا كانت الدالة مثلثية اسية و المشتقة غير متوفرة

فيما بلي اسئلة و تمارين مع حلولهل

السؤال: رقم 25

احسب التكامل التالي:

I=∫sin⁡2x dxI = \int \sin^2 x \, dx

الحل:

الخطوة 1: استخدام هوية نصف الزاوية

نستخدم الهوية المثلثية:

sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2}

نستبدل في التكامل:

I=∫1−cos⁡2x2 dxI = \int \frac{1 – \cos 2x}{2} \, dx

الخطوة 2: تبسيط التكامل

نوزع التكامل:

I=12∫1 dx−12∫cos⁡2x dxI = \frac{1}{2} \int 1 \, dx – \frac{1}{2} \int \cos 2x \, dx

نحسب كل تكامل على حدة:

∫1 dx=x\int 1 \, dx = x ∫cos⁡2x dx=sin⁡2x2\int \cos 2x \, dx = \frac{\sin 2x}{2}

الخطوة 3: إيجاد النتيجة النهائية

I=12x−12×sin⁡2x2+CI = \frac{1}{2} x – \frac{1}{2} \times \frac{\sin 2x}{2} + C I=x2−sin⁡2x4+CI = \frac{x}{2} – \frac{\sin 2x}{4} + C

الإجابة النهائية:

∫sin⁡2x dx=x2−sin⁡2x4+C

السؤال: رقم 26

احسب التكامل التالي:

I=∫cos⁡22x dxI = \int \cos^2 2x \, dx

الحل:

الخطوة 1: استخدام هوية نصف الزاوية

نستخدم الهوية المثلثية:

cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}

بالتعويض بـ θ=2x\theta = 2x:

cos⁡22x=1+cos⁡4x2\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}

نستبدل في التكامل:

I=∫1+cos⁡4x2 dxI = \int \frac{1 + \cos 4x}{2} \, dx

الخطوة 2: تبسيط التكامل

نوزع التكامل:

I=12∫1 dx+12∫cos⁡4x dxI = \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos 4x \, dx

نحسب كل تكامل على حدة:

∫1 dx=x\int 1 \, dx = x ∫cos⁡4x dx=sin⁡4x4\int \cos 4x \, dx = \frac{\sin 4x}{4}

الخطوة 3: إيجاد النتيجة النهائية

I=12x+12×sin⁡4x4+CI = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \times \frac{\sin 4x}{4} + C I=x2+sin⁡4x8+CI = \frac{x}{2} + \frac{\sin 4x}{8} + C

الإجابة النهائية:

∫cos⁡22x dx=x2+sin⁡4x8+C

السؤال: رقم 27

احسب التكامل التالي:

I=∫sin⁡3x dxI = \int \sin^3 x \, dx

الحل:

الخطوة 1: استخدام الهوية المثلثية

نستخدم الهوية:

sin⁡3x=sin⁡x(1−cos⁡2x)\sin^3 x = \sin x (1 – \cos^2 x)

فيصبح التكامل:

I=∫sin⁡x(1−cos⁡2x) dxI = \int \sin x (1 – \cos^2 x) \, dx

الخطوة 2: التغيير المتغير

نضع:

t=cos⁡xt = \cos x

وبالتالي:

dt=−sin⁡x dxdt = -\sin x \, dx

بالتعويض:

I=∫(1−t2)(−dt)I = \int (1 – t^2) (-dt) I=∫(−1+t2) dtI = \int (-1 + t^2) \, dt I=∫−1 dt+∫t2 dtI = \int -1 \, dt + \int t^2 \, dt

الخطوة 3: حساب التكاملات

I=−t+t33+CI = -t + \frac{t^3}{3} + C

وبإرجاع t=cos⁡xt = \cos x:

I=−cos⁡x+cos⁡3x3+CI = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C

الإجابة النهائية:

∫sin⁡3x dx=−cos⁡x+cos⁡3x3+C

السؤال: رقم 28

احسب التكامل التالي:

I=∫cos⁡32x dxI = \int \cos^3 2x \, dx

الحل:

الخطوة 1: استخدام الهوية المثلثية

نستخدم الهوية:

cos⁡3θ=cos⁡θ(1−sin⁡2θ)\cos^3 \theta = \cos \theta (1 – \sin^2 \theta)

باستبدال θ=2x\theta = 2x، نحصل على:

cos⁡32x=cos⁡2x(1−sin⁡22x)\cos^3 2x = \cos 2x (1 – \sin^2 2x)

وبالتالي يصبح التكامل:

I=∫cos⁡2x(1−sin⁡22x) dxI = \int \cos 2x (1 – \sin^2 2x) \, dx

الخطوة 2: التغيير المتغير

نضع:

t=sin⁡2xt = \sin 2x

وبالتالي:

dt=2cos⁡2x dxdt = 2\cos 2x \, dx

بالتعويض:

I=∫(1−t2)dt2I = \int (1 – t^2) \frac{dt}{2} I=12∫(1−t2) dtI = \frac{1}{2} \int (1 – t^2) \, dt

الخطوة 3: حساب التكاملات

I=12∫1 dt−12∫t2 dtI = \frac{1}{2} \int 1 \, dt – \frac{1}{2} \int t^2 \, dt I=12t−12×t33+CI = \frac{1}{2} t – \frac{1}{2} \times \frac{t^3}{3} + C I=12sin⁡2x−16sin⁡32x+CI = \frac{1}{2} \sin 2x – \frac{1}{6} \sin^3 2x + C

الإجابة النهائية:

∫cos⁡32x dx=12sin⁡2x−16sin⁡32x+C

السؤال: رقم 29 (من تمارين الكتاب)

احسب التكامل التالي:

I=∫(1+cos⁡3x)2 dxI = \int (1 + \cos 3x)^2 \, dx

الحل:

الخطوة 1: فك المربع

نستخدم التوسيع:

(1+cos⁡3x)2=1+2cos⁡3x+cos⁡23x(1 + \cos 3x)^2 = 1 + 2\cos 3x + \cos^2 3x

وبالتالي يصبح التكامل:

I=∫(1+2cos⁡3x+cos⁡23x) dxI = \int (1 + 2\cos 3x + \cos^2 3x) \, dx

الخطوة 2: حساب التكاملات

التكامل الأول:

∫1 dx=x\int 1 \, dx = x

التكامل الثاني:

∫2cos⁡3x dx\int 2\cos 3x \, dx

نعلم أن:

∫cos⁡ax dx=sin⁡axa\int \cos ax \, dx = \frac{\sin ax}{a}

وبالتالي:

∫2cos⁡3x dx=2sin⁡3x3\int 2\cos 3x \, dx = \frac{2\sin 3x}{3}

التكامل الثالث:

نستخدم الهوية:

cos⁡23x=1+cos⁡6x2\cos^2 3x = \frac{1 + \cos 6x}{2}

وبالتالي:

∫cos⁡23x dx=∫1+cos⁡6x2 dx\int \cos^2 3x \, dx = \int \frac{1 + \cos 6x}{2} \, dx =12∫1 dx+12∫cos⁡6x dx= \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos 6x \, dx =12x+12×sin⁡6x6= \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \times \frac{\sin 6x}{6} =x2+sin⁡6x12= \frac{x}{2} + \frac{\sin 6x}{12}

الخطوة 3: تجميع النتيجة النهائية

I=x+2sin⁡3x3+(x2+sin⁡6x12)+CI = x + \frac{2\sin 3x}{3} + \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin 6x}{12}\right) + C I=3x2+2sin⁡3x3+sin⁡6x12+CI = \frac{3x}{2} + \frac{2\sin 3x}{3} + \frac{\sin 6x}{12} + C

الإجابة النهائية:

∫(1+cos⁡3x)2 dx=3x2+2sin⁡3x3+sin⁡6x12+C

السؤال: رقم 30 (من تمارين الكتاب)

احسب التكامل التالي:

I=∫sin⁡4x dxI = \int \sin^4 x \, dx

الحل:

الخطوة 1: استخدام هوية القوى الزوجية

نستخدم الهوية:

sin⁡4x=(sin⁡2x)2\sin^4 x = (\sin^2 x)^2

وباستخدام هوية نصف الزاوية:

sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2}

نحصل على:

sin⁡4x=(1−cos⁡2x2)2\sin^4 x = \left(\frac{1 – \cos 2x}{2}\right)^2

بالتبسيط:

sin⁡4x=1−2cos⁡2x+cos⁡22x4\sin^4 x = \frac{1 – 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4}

وبالتالي يصبح التكامل:

I=∫1−2cos⁡2x+cos⁡22x4 dxI = \int \frac{1 – 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4} \, dx

نوزع التكامل:

I=14∫1 dx−12∫cos⁡2x dx+14∫cos⁡22x dxI = \frac{1}{4} \int 1 \, dx – \frac{1}{2} \int \cos 2x \, dx + \frac{1}{4} \int \cos^2 2x \, dx

الخطوة 2: حساب التكاملات

التكامل الأول:

∫1 dx=x\int 1 \, dx = x

التكامل الثاني:

∫cos⁡2x dx=sin⁡2x2\int \cos 2x \, dx = \frac{\sin 2x}{2}

التكامل الثالث:

نستخدم الهوية:

cos⁡22x=1+cos⁡4x2\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}

وبالتالي:

∫cos⁡22x dx=∫1+cos⁡4x2 dx\int \cos^2 2x \, dx = \int \frac{1 + \cos 4x}{2} \, dx =12∫1 dx+12∫cos⁡4x dx= \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos 4x \, dx =12x+12×sin⁡4x4= \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \times \frac{\sin 4x}{4} =x2+sin⁡4x8= \frac{x}{2} + \frac{\sin 4x}{8}

الخطوة 3: تجميع النتيجة النهائية

I=14x−12×sin⁡2x2+14(x2+sin⁡4x8)+CI = \frac{1}{4} x – \frac{1}{2} \times \frac{\sin 2x}{2} + \frac{1}{4} \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin 4x}{8}\right) + C I=x4−sin⁡2x4+x8+sin⁡4x32+CI = \frac{x}{4} – \frac{\sin 2x}{4} + \frac{x}{8} + \frac{\sin 4x}{32} + C I=3x8−sin⁡2x4+sin⁡4x32+CI = \frac{3x}{8} – \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C

الإجابة النهائية:

∫sin⁡4x dx=3x8−sin⁡2x4+sin⁡4x32+C

السؤال: رقم 33

احسب التكامل التالي:

I=∫sec⁡42x dxI = \int \sec^4 2x \, dx

الحل:

الخطوة 1: استخدام الهوية المثلثية

نستخدم الهوية:

sec⁡4θ=sec⁡2θ+tan⁡2θsec⁡2θ\sec^4 \theta = \sec^2 \theta + \tan^2 \theta \sec^2 \theta

وبالتعويض بـ θ=2x\theta = 2x، نحصل على:

sec⁡42x=sec⁡22x+tan⁡22xsec⁡22x\sec^4 2x = \sec^2 2x + \tan^2 2x \sec^2 2x

وبالتالي يصبح التكامل:

I=∫(sec⁡22x+tan⁡22xsec⁡22x) dxI = \int (\sec^2 2x + \tan^2 2x \sec^2 2x) \, dx

نقسم التكامل إلى جزأين:

I=∫sec⁡22x dx+∫tan⁡22xsec⁡22x dxI = \int \sec^2 2x \, dx + \int \tan^2 2x \sec^2 2x \, dx

الخطوة 2: حساب التكاملات

التكامل الأول:

نعلم أن:

∫sec⁡2ax dx=tan⁡axa\int \sec^2 ax \, dx = \frac{\tan ax}{a}

وبالتالي:

∫sec⁡22x dx=tan⁡2x2\int \sec^2 2x \, dx = \frac{\tan 2x}{2}

التكامل الثاني:

نضع:

t=tan⁡2xt = \tan 2x

وبالتالي:

dt=2sec⁡22x dxdt = 2\sec^2 2x \, dx dx=dt2sec⁡22xdx = \frac{dt}{2\sec^2 2x}

بالتعويض:

∫t2sec⁡22x dx=∫t2dt2\int t^2 \sec^2 2x \, dx = \int \frac{t^2 dt}{2} =12∫t2dt= \frac{1}{2} \int t^2 dt =12×t33=tan⁡32x6= \frac{1}{2} \times \frac{t^3}{3} = \frac{\tan^3 2x}{6}

الخطوة 3: تجميع النتيجة النهائية

I=tan⁡2x2+tan⁡32x6+CI = \frac{\tan 2x}{2} + \frac{\tan^3 2x}{6} + C

الإجابة النهائية:

∫sec⁡42x dx=tan⁡2x2+tan⁡32x6+C

السؤال: رقم 40

احسب التكامل التالي:

I=∫1−sin⁡2x dxI = \int \sqrt{1 – \sin 2x} \, dx

الحل:

الخطوة 1: استخدام الهوية المثلثية

نستخدم الهوية:

1−sin⁡2x=cos⁡2x1 – \sin 2x = \cos^2 x

وبالتالي يمكننا إعادة كتابة التكامل كالتالي:

I=∫cos⁡2x dxI = \int \sqrt{\cos^2 x} \, dx

بما أن cos⁡2x=∣cos⁡x∣\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|، فإن:

I=∫∣cos⁡x∣ dxI = \int |\cos x| \, dx

الخطوة 2: تحديد التكامل بناءً على القيم المطلقة

نعلم أن:

∣cos⁡x∣={cos⁡xإذا كان cos⁡x≥0−cos⁡xإذا كان cos⁡x<0|\cos x| = \begin{cases} \cos x & \text{إذا كان } \cos x \geq 0 \\ -\cos x & \text{إذا كان } \cos x < 0 \end{cases}

بالتالي، نقسم التكامل وفقًا لقيم xx حيث تتغير إشارة cos⁡x\cos x عند:

x=π2+kπ,k∈Zx = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

الخطوة 3: حساب التكامل لكل حالة

  • في الفترات حيث cos⁡x≥0\cos x \geq 0 يكون التكامل:

    I1=∫cos⁡x dx=sin⁡xI_1 = \int \cos x \, dx = \sin x

  • في الفترات حيث cos⁡x<0\cos x < 0 يكون التكامل:

    I2=∫−cos⁡x dx=−sin⁡xI_2 = \int -\cos x \, dx = -\sin x

بالتالي، الحل العام للتكامل يعتمد على الفترة التي يكون فيها xx.

الإجابة النهائية:

I=sgn(cos⁡x)sin⁡x+CI = \text{sgn}(\cos x) \sin x + C

حيث sgn(cos⁡x)\text{sgn}(\cos x) هي إشارة دالة جيب التمام، والتي تحدد ما إذا كان يجب استخدام sin⁡x\sin x أو −sin⁡x-\sin x بناءً على موقع xx.

\int \sec^4 2x \, dx = \frac{\tan 2x}{2} + \frac{\tan^3 2x}{6} + C

\int \sin^4 x \, dx = \frac{3x}{8} – \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C

\int (1 + \cos 3x)^2 \, dx = \frac{3x}{2} + \frac{2\sin 3x}{3} + \frac{\sin 6x}{12} + C

\int \cos^3 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x – \frac{1}{6} \sin^3 2x + C

\int \sin^3 x \, dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C

\int \cos^2 2x \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 4x}{8} + C

\int \sin^2 x \, dx = \frac{x}{2} – \frac{\sin 2x}{4} + C

المحاضرة السابق
رجوع إلى الدرس
المحاضرة التالي