المحاضرة 11/ القطع الناقص / النوع الثاني

جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الاصل و المسافة بين البؤرتين الواقفتين على محور السينات 6 وحدات و الفرق بين طولي محوريه 2 وحدات الطول

نريد إيجاد معادلة القطع الناقص الذي:

• مركزه عند نقطة الأصل $(0,0)$.
• المسافة بين البؤرتين الواقعتين على محور $x$ هي 6 وحدات.
• الفرق بين طولي محوريه هو 2 وحدات.

الخطوة 1: تحديد القيم الأساسية

1. حساب $c$ (بعد البؤرة عن المركز)

بما أن المسافة بين البؤرتين هي 6 وحدات، فإن:

$$2c = 6$$ $$c = \frac{6}{2} = 3$$

2. العلاقة بين المحورين

المحور الأكبر طوله $2a$، والمحور الأصغر طوله $2b$، ونعلم أن الفرق بين طولي المحورين هو 2:

$$2a – 2b = 2$$

بقسمة الطرفين على 2:

$$a – b = 1$$

3. استخدام علاقة القطع الناقص

نعلم أن:

$$c^2 = a^2 – b^2$$

وبالتعويض بـ $c = 3$:

$$9 = a^2 – b^2$$

الخطوة 2: حل المعادلتين لإيجاد $a$ و $b$

لدينا النظام:

1. $a – b = 1$
2. $a^2 – b^2 = 9$

نستخدم المعادلة الأولى للتعبير عن $a$:

$$a = b + 1$$

نُعوّض في المعادلة الثانية:

$$(b + 1)^2 – b^2 = 9$$

نستخدم صيغة مربع الحدانية:

$$b^2 + 2b + 1 – b^2 = 9$$ $$2b + 1 = 9$$ $$2b = 8$$ $$b = 4$$

وبما أن $a = b + 1$:

$$a = 4 + 1 = 5$$

الخطوة 3: كتابة معادلة القطع الناقص

بما أن البؤرتين على محور $x$، فإن معادلة القطع الناقص تأخذ الشكل:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

بالتعويض بـ $a^2 = 25$ و $b^2 = 16$:

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$$

الإجابة النهائية

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$$

التأكد من القيم المحسوبة

• المحور الأكبر: $2a = 10$ ✔
• المحور الأصغر: $2b = 8$ ✔
• الفرق بين المحورين: $10 – 8 = 2$ ✔
• المسافة بين البؤرتين: $2c = 6$ ✔

كل الشروط محققة، وبالتالي المعادلة صحيحة! 🎯😊