المحاضرة 15/ القطع الناقص/ النوع الثاني

السؤال:

جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه على محور السينات، والذي بعده البؤري يساوي بعد بؤرة القطع المكافئ $y^2 = -24x$ عن دليله. علمًا أن مساحة القطع الناقص $80\pi$ وحدة مربعة.

الحل:

1- إيجاد البعد البؤري للقطع المكافئ:
المعادلة العامة للقطع المكافئ هي:

$$y^2 = 4ax$$

بمقارنة المعادلة المعطاة $y^2 = -24x$ مع الصيغة العامة نجد أن:

$$4a = -24 \Rightarrow a = -6$$

وبالتالي، فإن البعد البؤري للقطع المكافئ هو:

$$|a| = 6$$

2- استخدام البعد البؤري لإيجاد معادلة القطع الناقص:
معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل ومحوره الأكبر على محور السينات تأخذ الشكل التالي:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

حيث إن البعد البؤري يُعطى بالعلاقة:

$$c^2 = a^2 – b^2$$

وبما أن البؤرتين تقعان عند $(\pm 6, 0)$، فإن:

$$c = 6$$

بالتعويض في معادلة البعد البؤري:

$$6^2 = a^2 – b^2$$ $$36 = a^2 – b^2$$

3- استخدام مساحة القطع الناقص لإيجاد القيم المجهولة:
مساحة القطع الناقص تُحسب بالعلاقة:

$$A = \pi a b$$

وحيث إن المساحة المعطاة هي $80\pi$:

$$\pi a b = 80\pi$$ $$a b = 80$$

4- حل المعادلتين لإيجاد $a$ و$b$:
لدينا المعادلتان:

$$a b = 80$$ $$a^2 – b^2 = 36$$

من المعادلة الأولى:

$$b = \frac{80}{a}$$

بالتعويض في المعادلة الثانية:

$$a^2 – \left( \frac{80}{a} \right)^2 = 36$$

نضرب في $a^2$ للتخلص من الكسر:

$$a^4 – 6400 = 36a^2$$

بإعادة الترتيب:

$$a^4 – 36a^2 – 6400 = 0$$

نضع $x = a^2$، فنحصل على المعادلة:

$$x^2 – 36x – 6400 = 0$$

باستخدام القانون العام لحل المعادلة التربيعية:

$$x = \frac{36 \pm \sqrt{(-36)^2 – 4(1)(-6400)}}{2(1)}$$ $$= \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 25600}}{2}$$ $$= \frac{36 \pm \sqrt{26896}}{2}$$

بتقدير الجذر التربيعي:

$$\sqrt{26896} \approx 164$$ $$x = \frac{36 \pm 164}{2}$$ $$x = \frac{200}{2} = 100 \quad \text{أو} \quad x = \frac{-128}{2} = -64 \text{ (مرفوض لأن المربع لا يمكن أن يكون سالبًا)}$$

إذًا:

$$a^2 = 100 \Rightarrow a = 10$$

ومن العلاقة $a b = 80$:

$$10 b = 80 \Rightarrow b = 8$$

وبالتالي:

$$b^2 = 64$$

5- معادلة القطع الناقص:

$$\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$$

السؤال:

جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل ويمر بنقطة تقاطع المستقيم

$$2X – 3Y = 18$$

مع المحورين.

الحل:

الخطوة 1: إيجاد نقاط تقاطع المستقيم مع المحورين

لإيجاد نقاط التقاطع، نقوم بحساب تقاطع المستقيم $2x – 3y = 18$ مع كل من محور السينات ومحور الصادات.

أ- إيجاد تقاطع المستقيم مع محور السينات ($y = 0$)

عند $y = 0$:

$$2x – 3(0) = 18$$ $$2x = 18$$ $$x = 9$$

إذًا، نقطة التقاطع مع محور السينات هي $(9,0)$.

ب- إيجاد تقاطع المستقيم مع محور الصادات ($x = 0$)

عند $x = 0$:

$$2(0) – 3y = 18$$ $$-3y = 18$$ $$y = -6$$

إذًا، نقطة التقاطع مع محور الصادات هي $(0,-6)$.

الخطوة 2: تحديد معادلة القطع الناقص

بما أن مركز القطع الناقص هو نقطة الأصل $(0,0)$، والمعادلة العامة للقطع الناقص الذي محوره الأكبر على محور السينات هي:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

حيث:

• القيمة $a$ هي المسافة من المركز إلى نقطة تقاطع القطع مع محور السينات.
• القيمة $b$ هي المسافة من المركز إلى نقطة تقاطع القطع مع محور الصادات.

من المعلومات المستخرجة:

• $a = 9$ لأن القطع يمر بالنقطة $(9,0)$.
• $b = 6$ لأن القطع يمر بالنقطة $(0,-6)$.

إذن:

$$a^2 = 81, \quad b^2 = 36$$

الخطوة 3: كتابة معادلة القطع الناقص

بالتعويض في المعادلة العامة:

$$\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{36} = 1$$

الإجابة النهائية:

$$\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{36} = 1$$