المحاضرة 16/ القطع الناقص/ النوع الثاني

جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وأحد بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ $X^2 + 16y = 0$ ، ويحسب دليل القطع المكافئ $X^2 = 20y$ .

لدينا معادلة القطع المكافئ:

$X^2 + 16y = 0$

بترتيبها على الصورة القياسية:

$X^2 = -16y$

وهي معادلة قطع مكافئ يفتح لأسفل، وصيغته العامة:

$X^2 = 4cy$

بمقارنة المعادلتين:

$4c = -16 \Rightarrow c = -4$

إذن بؤرة القطع المكافئ هي عند النقطة:

$(0, -4)$

بما أن بؤرة القطع المكافئ هي بؤرة القطع الناقص، فهذا يعني أن:

$c = 4$

ومركز القطع الناقص عند (0,0)، إذن:

$c = \sqrt{a^2 – b^2}$

وحيث إن $c = 4$ ، يمكننا كتابة العلاقة:

$4 = \sqrt{a^2 – b^2}$

وبتربيع الطرفين:

$16 = a^2 – b^2$

لدينا معادلة القطع المكافئ الأخرى:

$X^2 = 20y$

وصيغته العامة:

$X^2 = 4py$

بمقارنة المعادلتين:

$4p = 20 \Rightarrow p = 5$

إذن دليل القطع المكافئ هو:

$y = -5$

بما أن القطع الناقص رأسي، فإن معادلته تأخذ الشكل:

$\frac{X^2}{b^2} + \frac{Y^2}{a^2} = 1$

نحتاج إلى قيمة $a^2$ و $b^2$ . نفترض أن $a = 5$ لأنه يمثل المحور الأكبر، ومنه:

$a^2 = 25$

وباستخدام العلاقة:

$a^2 – b^2 = 16$

نجد:

$25 – b^2 = 16$ $b^2 = 9$

معادلة القطع الناقص هي:

$\frac{X^2}{9} + \frac{Y^2}{25} = 1$