المحاضرة 19/ القطع الناقص/ إيجاد معادلة القطع الناقص باستخدام تعريفه

لإيجاد معادلة القطع الناقص باستخدام تعريفه الهندسي، نتبع الخطوات التالية:

التعريف الهندسي للقطع الناقص:

القطع الناقص هو مجموعة جميع النقاط في المستوى التي يكون مجموع بعديها عن نقطتين ثابتتين، تسمى البؤرتين، مقدارًا ثابتًا.

الخطوات لإيجاد المعادلة:

1. نفرض البؤرتين عند:

   $$F_1(-c,0), \quad F_2(c,0)$$حيث $c$ هو بعد البؤرة عن المركز.

2. نفرض نقطة عامة على القطع الناقص:

   $$P(x,y)$$بحيث تحقق خاصية القطع الناقص:

   $$PF_1 + PF_2 = 2a$$حيث $2a$ هو طول المحور الأكبر.

3. نطبق المسافة بين نقطتين:

   $$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$$

4. نربع الطرفين ونبسط المعادلة:
   • نبدأ بنقل أحد الجذور إلى الطرف الآخر وتربيع الطرفين، ثم نكرر العملية حتى نتخلص من الجذور.
   • بعد التبسيط نحصل على معادلة القطع الناقص القياسية: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ حيث $b^2 = a^2 – c^2$ ويمثل $b$ نصف المحور الأصغر.

المعادلة النهائية:

إذا كان القطع الناقص مركزه عند الأصل ومحوره الأكبر أفقيًا:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

أما إذا كان محوره الأكبر رأسيًا:

$$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$$

علاقة البؤرة بمعاملات المعادلة:

• نصف المحور الأكبر: $a$
• نصف المحور الأصغر: $b$
• البؤرتان عند: $c^2 = a^2 – b^2$

بهذه الطريقة، استنتجنا معادلة القطع الناقص باستخدام تعريفه الهندسي.

أمثلة على إيجاد معادلة القطع الناقص باستخدام تعريفه

المثال الأول:

إيجاد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه عند $F_1(-4,0)$ و $F_2(4,0)$ وطول محوره الأكبر $10$.

الحل:

1. تحديد المعطيات:
   • البؤرتان: $F_1(-4,0)$ و $F_2(4,0)$ ⇒ إذن $c = 4$.
   • طول المحور الأكبر: $2a = 10$ ⇒ إذن $a = 5$.
2. حساب $b$ باستخدام العلاقة:

   $$b^2 = a^2 – c^2$$ $$b^2 = 5^2 – 4^2 = 25 – 16 = 9$$ $$b = 3$$

3. معادلة القطع الناقص (المحور الأكبر أفقي):

   $$\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$$ $$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$

المثال الثاني:

إيجاد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه عند $F_1(0,-3)$ و $F_2(0,3)$ وطول محوره الأكبر $8$.

الحل:

1. تحديد المعطيات:
   • البؤرتان: $F_1(0,-3)$ و $F_2(0,3)$ ⇒ إذن $c = 3$.
   • طول المحور الأكبر: $2a = 8$ ⇒ إذن $a = 4$.
2. حساب $b$ باستخدام العلاقة:

   $$b^2 = a^2 – c^2$$ $$b^2 = 4^2 – 3^2 = 16 – 9 = 7$$ $$b = \sqrt{7}$$

3. معادلة القطع الناقص (المحور الأكبر رأسي):

   $$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$$ $$\frac{x^2}{7} + \frac{y^2}{16} = 1$$

ملحوظة:

• إذا كانت البؤرتان على المحور الأفقي ($x$-محور) تكون المعادلة على الشكل: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$
• إذا كانت البؤرتان على المحور الرأسي ($y$-محور) تكون المعادلة على الشكل: $$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$$

بهذه الطريقة، نستخدم التعريف الهندسي لحساب معادلة القطع الناقص بدقة. 🚀