المحاضرة 23/ ايجاد معادلة القطع الزائد

لإيجاد معادلة القطع الزائد، نحتاج إلى معرفة معلومات أساسية مثل مركزه، المحاور الرئيسية، والبؤر. يعتمد الشكل العام لمعادلة القطع الزائد على محاوره كما يلي:

1. إذا كان المحور الأساسي أفقيًا:

$$\frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1$$

حيث:

• $(h, k)$ هو مركز القطع الزائد.
• $a$ هو نصف المسافة بين الرأسيين على المحور الأفقي.
• $b$ يُحسب من العلاقة $c^2 = a^2 + b^2$، حيث $c$ هو بعد البؤرة عن المركز.

2. إذا كان المحور الأساسي عموديًا:

$$\frac{(y – k)^2}{a^2} – \frac{(x – h)^2}{b^2} = 1$$

حيث تكون الفتحات عمودية بدلًا من أفقية.

كيفية إيجاد المعادلة من المعلومات المعطاة:

1. إذا أعطيت البؤرتان والرأسان:
   • احسب مركز القطع الزائد $(h, k)$ باستخدام منتصف المسافة بين البؤرتين.
   • احسب $a$ باستخدام نصف المسافة بين الرأسيين.
   • احسب $c$ باستخدام المسافة بين المركز وأي بؤرة.
   • أوجد $b$ باستخدام العلاقة $c^2 = a^2 + b^2$.
   • اختر الشكل المناسب للمعادلة بناءً على اتجاه المحور الأساسي.
2. إذا أعطيت نقاط أخرى مثل نقطة على القطع الزائد، استخدمها للتحقق من صحة المعادلة.

“جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل وطول محوره المرافق (4) وحدات، وبؤرتاه هما (0,-√8) و (0,√8).”

لحل السؤال، نستخدم معادلة القطع الزائد القياسية عندما يكون مركزه (0,0) ومحوره الأساسي رأسي، وهي:

$$\frac{y^2}{a^2} – \frac{x^2}{b^2} = 1$$

الخطوات:

1. إيجاد $c$ (المسافة إلى البؤرة)

معطى أن البؤرتين هما (0,√8) و (0,-√8)، مما يعني أن:

$$c = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

2. إيجاد $b$ (نصف طول المحور المرافق)

معطى أن طول المحور المرافق = 4، وبالتالي:

$$b = \frac{4}{2} = 2$$

3. إيجاد $a$ باستخدام العلاقة بين $a$ و $b$ و $c$

لدينا العلاقة:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

وبالتعويض:

$$(2\sqrt{2})^2 = a^2 + 2^2$$ $$8 = a^2 + 4$$ $$a^2 = 4$$ $$a = 2$$

4. كتابة معادلة القطع الزائد

بما أن المحور الأساسي رأسي، فإن المعادلة تكون:

$$\frac{y^2}{4} – \frac{x^2}{4} = 1$$

أو ببساطة:

$$\frac{y^2}{4} – \frac{x^2}{4} = 1$$

وهذه هي معادلة القطع الزائد المطلوبة. ✅

“قطع مخروطي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه F₁(0,4) و F₂(0,-4) والاختلاف المركزي له (2)، جد معادلته.”

لحل هذا السؤال، نتبع الخطوات التالية:

1- تحديد نوع القطع المخروطي

• لدينا بؤرتان $F_1(0,4)$ و $F_2(0,-4)$، وهما على المحور الرأسي (محور $y$).
• الاختلاف المركزي $e = 2$.

من تعريف الاختلاف المركزي:

$$e = \frac{c}{a}$$

حيث:

• $c$ هو بعد البؤرة عن المركز.
• $a$ هو نصف المحور الحقيقي.

لدينا:

$$c = 4$$

وباستخدام المعادلة:

$$2 = \frac{4}{a}$$

نحل المعادلة لإيجاد $a$:

$$a = \frac{4}{2} = 2$$

2- حساب $b$ باستخدام معادلة القطع الناقص

في القطع الناقص، العلاقة بين المحاور هي:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

نعوض القيم:

$$4^2 = 2^2 + b^2$$ $$16 = 4 + b^2$$ $$b^2 = 12$$

3- كتابة معادلة القطع الناقص

بما أن المحور الرأسي هو المحور الحقيقي، فإن معادلة القطع الناقص تكون:

$$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$$

نضع القيم:

$$\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1$$

الإجابة النهائية:

$$\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1$$