المحاضرة 25/ ايجاد معادلة القطع الزائد

الرياضيات للصف السادس العلمي المحاضرة 25/ ايجاد معادلة القطع الزائد

س 13 جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل وأحد بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ $y^2 = 40x$ والذي يمس دليل القطع المكافئ الآخر $y^2 + 16x = 0$ .

لحل السؤال، نتبع الخطوات التالية:

الخطوة 1: إيجاد بؤرة القطع المكافئ $y^2 = 40x$

معادلة القطع المكافئ تكون على الصورة القياسية:

$y^2 = 4ax$

بمقارنة المعادلتين نجد أن:

$4a = 40 \Rightarrow a = 10$

بؤرة القطع المكافئ تقع عند:

$(10, 0)$

إذن، بؤرة القطع المكافئ هي $(10,0)$ ، وهي أيضاً إحدى بؤرتي القطع الزائد.

الخطوة 2: إيجاد دليل القطع المكافئ الآخر

المعادلة الثانية المعطاة هي:

$y^2 + 16x = 0$

بترتيبها:

$y^2 = -16x$

هذه معادلة قطع مكافئ على الصورة القياسية $y^2 = 4a x$ ، حيث:

$4a = -16 \Rightarrow a = -4$

دليل القطع المكافئ يعطى بالمعادلة:

$x = -a = 4$

الخطوة 3: تحديد بؤرتي القطع الزائد

بما أن إحدى بؤرتي القطع الزائد هي $(10,0)$ ، والبؤرة الثانية يجب أن تكون على الجهة المقابلة للدليل $x = 4$ ، فإن البؤرة الثانية تكون عند:

$(-10, 0)$

بالتالي، البؤرتان هما $(10,0)$ و $(-10,0)$ ، وهذا يعني أن $c = 10$ للقطع الزائد.

الخطوة 4: إيجاد معادلة القطع الزائد

معادلة القطع الزائد الذي مركزه عند $(0,0)$ ومحوره الأساسي أفقي تكون على الصورة:

$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$

حيث:

$c^2 = a^2 + b^2$

وبما أن $c = 10$ فنحصل على:

$100 = a^2 + b^2$

الخطوة 5: إيجاد $a$ باستخدام دليل القطع المكافئ

دليل القطع الزائد يعطى بالعلاقة:

$x = \frac{a^2}{c}$

ومن المعطيات، فإن دليل القطع الزائد هو نفس دليل القطع المكافئ، أي $x = 4$ ، لذا:

$\frac{a^2}{10} = 4$ $a^2 = 40$

الخطوة 6: حساب $b^2$

من المعادلة:

$100 = a^2 + b^2$

وبالتعويض بـ $a^2 = 40$ :

$100 = 40 + b^2$ $b^2 = 60$

الخطوة 7: كتابة معادلة القطع الزائد

$\frac{x^2}{40} – \frac{y^2}{60} = 1$

إذن، معادلة القطع الزائد المطلوب هي:

$\frac{x^2}{40} – \frac{y^2}{60} = 1$

السؤال هو:

جد معادلة القطع الزائد الذي بؤرته هما بؤرتا القطعين المتكافئين $y^2 = 20x$ و $y^2 = -20x$ ، وطول محوره المرافق $8$ وحدات.

حل المسألة:

الخطوة 1: إيجاد بؤرتي القطعين المكافئين

المعادلتان المعطاتان هما:

$y^2 = 20x$ $y^2 = -20x$

هاتان معادلتان لقطعين مكافئين (Parabolas) يفتحان أفقيًا (واحد نحو اليمين والآخر نحو اليسار).
بصيغة القطع المكافئ القياسية:

$y^2 = 4ax$

بمقارنة المعادلة $y^2 = 20x$ مع $y^2 = 4ax$ ، نجد:

$4a = 20 \Rightarrow a = 5$

بما أن البؤرة في القطع المكافئ تكون عند $(a,0)$ و $(-a,0)$ ، فإن بؤرتي القطعين المكافئين هما:

$(5,0) \quad \text{و} \quad (-5,0)$

إذن، هاتان البؤرتان هما بؤرتا القطع الزائد.

الخطوة 2: تحديد قيم $c$ و $b$ و $a$

البؤرتان للقطع الزائد هما $(\pm c, 0)$ ، إذًا $c = 5$ .
معطى أن طول المحور المرافق هو 8 وحدات، أي: $2b = 8 \Rightarrow b = 4$
باستخدام العلاقة الأساسية في القطع الزائد: $c^2 = a^2 + b^2$ وبالتعويض: $5^2 = a^2 + 4^2$ $25 = a^2 + 16$ $a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$

الخطوة 3: كتابة معادلة القطع الزائد

بما أن محور القطع الزائد أفقي (لأن بؤرتيه على المحور الأفقي)، فإن معادلته تكون بالصورة:

$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$

بالتعويض بالقيم:

$\frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{16} = 1$

الإجابة النهائية:

$\frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{16} = 1$

السؤال :

$F_1$ بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته:

$x^2 + 24y = 0$

$F_2$ هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته:

$y^2 = 32x$

جد معادلة القطع الزائد الذي إحداثي بؤرتيه هما $F_1$ و $F_2$ .
إذا كان طول محوره المرافق يساوي طول $F_1F_2$ ، فحدد معادلته.

حل السؤال:

أولاً: إيجاد إحداثيات البؤرتين $F_1$ و $F_2$

1. إيجاد بؤرة القطع المكافئ $x^2 + 24y = 0$

نكتب المعادلة على الصورة القياسية للقطع المكافئ:

$x^2 = -24y$

وهي من الشكل القياسي:

$x^2 = 4p y$

بمقارنة المعادلتين:

$4p = -24 \Rightarrow p = -6$

وبما أن البؤرة تقع عند $(0, p)$ ، فإن:

$F_1 (0, -6)$

2. إيجاد بؤرة القطع المكافئ $y^2 = 32x$

المعادلة في الصورة القياسية:

$y^2 = 4px$

بمقارنة المعادلتين:

$4p = 32 \Rightarrow p = 8$

إحداثيات البؤرة هي $(p, 0)$ ، وبالتالي:

$F_2 (8, 0)$

ثانياً: معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه $F_1 (0, -6)$ و $F_2 (8, 0)$

1. حساب مركز القطع الزائد

مركز القطع الزائد هو منتصف المسافة بين $F_1$ و $F_2$ :

$\left( \frac{0+8}{2}, \frac{-6+0}{2} \right) = (4, -3)$

2. حساب المسافة بين البؤرتين $2c$

$F_1F_2 = \sqrt{(8 – 0)^2 + (0 + 6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$

بالتالي، لدينا:

$2c = 10 \Rightarrow c = 5$

3. تحديد اتجاه القطع الزائد

بما أن البؤرتين ليستا على خط أفقي أو عمودي، فنستخدم معادلة القطع الزائد المائل.
معادلة القطع الزائد في هذه الحالة معقدة، ولكن يمكننا التحقق باستخدام شكل القطع الزائد بمحور أفقي أو رأسي.

4. حساب نصف المحور الحقيقي $a$

المعطى أن طول المحور المرافق يساوي $F_1F_2$ ، أي $10$ .

في القطع الزائد، طول المحور المرافق هو:

$2b = 10 \Rightarrow b = 5$

5. حساب نصف المحور الحقيقي $a$ باستخدام العلاقة:

$c^2 = a^2 + b^2$ $5^2 = a^2 + 5^2$ $25 = a^2 + 25$ $a^2 = 0$

هذا غير ممكن رياضيًا! لذا هناك خطأ في الافتراضات، مما يعني أن المسافة المعطاة قد تحتاج لمراجعة أو أن القطع الزائد غير ممكن تكوينه بالشكل المطلوب مع الشرط المعطى.

استنتاج

المعادلات والافتراضات تشير إلى مشكلة في شرط المحور المرافق، إذ أن العلاقة بين $a$ و $b$ و $c$ لم تحقق المعادلة. يمكن تصحيح ذلك إذا أُعيد النظر في المعطيات أو تغيّر الشرط الخاص بالمحور المرافق.

المحاضرة السابق

رجوع إلى الدرس

المحاضرة التالي

الخطوة 1: إيجاد بؤرة القطع المكافئ y2=40xy^2 = 40x