المحاضرة 29 / تعريف القطع الزائد

إيجاد معادلة القطع الزائد باستخدام (التعريف)

القطع الزائد هو المجموعة الهندسية لجميع النقاط في المستوى بحيث يكون الفرق المطلق بين المسافتين من كل نقطة إلى بؤرتين ثابتًا.

تنقسم معادلة القطع الزائد إلى نوعين، وذلك حسب موقع محوره الرئيسي:

قطع زائد أفقي (محوره الرئيسي أفقي): $\frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1$
قطع زائد رأسي (محوره الرئيسي رأسي): $\frac{(y – k)^2}{a^2} – \frac{(x – h)^2}{b^2} = 1$

حيث:

(h, k): مركز القطع الزائد.
a: المسافة من المركز إلى رأس القطع الزائد.
b: تُحسب باستخدام العلاقة $c^2 = a^2 + b^2$ ، حيث $c$ هي المسافة من المركز إلى إحدى البؤرتين.

سأقوم الآن بإنشاء رسم بياني يوضح شكل القطع الزائد الأفقي والرأسي.

هذا هو الرسم البياني للقطع الزائد الأفقي. في الرسم:

يمكنك ملاحظة أن القطع الزائد يقترب من المستقيمات المقاربة دون أن يلامسها.

السؤال:

باستخدام التعريف، جد معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه $(\pm2\sqrt{5}, 0)$ والقيمة المطلقة لفرق بعدي أي نقطة عنه البؤرتين يساوي $4$ وحدات.

لحل هذا السؤال، نستخدم تعريف القطع الزائد، والذي ينص على أن:

القطع الزائد هو مجموعة النقاط التي يكون الفرق المطلق بين بعديها عن بؤرتين ثابتًا.

إحداثيات البؤرتين: $(\pm2\sqrt{5}, 0)$ ، أي أن البؤرتين على المحور الأفقي.
القيمة المطلقة لفرق بعدي أي نقطة عن البؤرتين = $2a = 4$ ، وبالتالي:
$a = 2$
المسافة بين البؤرتين:
$2c = 2 \times 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$ إذن:
$c = 2\sqrt{5}$

العلاقة بين $a, b, c$ في القطع الزائد هي:

$c^2 = a^2 + b^2$

بالتعويض:

$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 + b^2$ $20 = 4 + b^2$ $b^2 = 16$ $b = 4$

بما أن القطع الزائد أفقي (لأن البؤرتين على المحور $x$ )، فإن معادلته تكون على الشكل:

$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$

بالتعويض بالقيم التي وجدناها:

$\frac{x^2}{4} – \frac{y^2}{16} = 1$

معادلة القطع الزائد هي:

$\frac{x^2}{4} – \frac{y^2}{16} = 1$