المعادلات التفاضلية / المحاضرة الثانية

حلول المعادلات التفاضلية , و حل التمارين و الامثلة

السؤال رقم 5:

هل $y = \sin x$ حل للمعادلة التفاضلية $\ddot{y} + y = 0$؟

الحل:

لإثبات ما إذا كانت $y = \sin x$ حلاً للمعادلة التفاضلية $\ddot{y} + y = 0$، نتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد المشتقات:
   • الدالة المعطاة: $y = \sin x$
   • المشتقة الأولى: $$\dot{y} = \cos x$$
   • المشتقة الثانية: $$\ddot{y} = -\sin x$$
2. التعويض في المعادلة التفاضلية:

   $$\ddot{y} + y = 0$$أي:

   $$(-\sin x) + \sin x = 0$$

3. التحقق من صحة المعادلة:
   • الطرف الأيسر للمعادلة يساوي الصفر.
   • إذن، الدالة $y = \sin x$ تحقق المعادلة التفاضلية.

الإجابة النهائية:

نعم، $y = \sin x$ حل للمعادلة التفاضلية $\ddot{y} + y = 0$. ✅

السؤال: رقم 5

هل تحقق الدالة $y = x^3 – x – 2$ المعادلة التفاضلية:

\frac{d^2 y}{dx^2} = 6x \] ؟ — ### **الحل**: لإثبات صحة المعادلة، يجب حساب المشتقات الأولى والثانية للدالة \( y = x^3 – x – 2 \) ثم التحقق مما إذا كانت المشتقة الثانية تساوي \( 6x \). #### **1. حساب المشتقات**: – المشتقة الأولى: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^3 – x – 2) $$\frac{dy}{dx} = 3x^2 – 1$$

• المشتقة الثانية: $$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (3x^2 – 1)$$ $$\frac{d^2 y}{dx^2} = 6x$$

2. التحقق من المعادلة التفاضلية:

بما أن:

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = 6x$$

وهذا يطابق المعادلة التفاضلية المعطاة، إذن الدالة تحقق المعادلة التفاضلية ✅.

الإجابة النهائية:

نعم، الدالة $y = x^3 – x – 2$ تحقق المعادلة التفاضلية $\frac{d^2 y}{dx^2} = 6x$. ✅

السؤال: رقم 6

هل الدالة $y = e^{5x}$ هي حل للمعادلة التفاضلية $\frac{dy}{dx} – 5y = 0$؟

خطوات الحل:

للتحقق مما إذا كانت الدالة $y = e^{5x}$ حلاً للمعادلة التفاضلية، نتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد المشتقة الأولى لـ $y$:

   $$y = e^{5x}$$نشتق الطرف الأيسر بالنسبة لـ $x$:

   $$\frac{dy}{dx} = 5e^{5x}$$

2. التعويض في المعادلة التفاضلية: المعادلة المعطاة هي:

   $$\frac{dy}{dx} – 5y = 0$$بالتعويض عن $\frac{dy}{dx}$ و $y$:

   $$5e^{5x} – 5(e^{5x}) = 0$$

3. التحقق من صحة المساواة:

   $$5e^{5x} – 5e^{5x} = 0$$وبما أن الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن، فإن المعادلة متحققة.

الإجابة النهائية:

بما أن المعادلة التفاضلية محققة عند التعويض، فإن الدالة $y = e^{5x}$ هي حل للمعادلة التفاضلية $\frac{dy}{dx} – 5y = 0$. ✅