المعادلات التفاضلية / عندما تكون العلاقة ضمنية و المعادلة تفاضلية

لفهم كيفية حل التفاضل عندما تكون العلاقة ضمنية و المعادلة تفاضلية، دعني أوضح الخطوات بشكل بسيط ومباشر:

✅ أولاً: ما معنى “علاقة ضمنية”؟

هي علاقة تحتوي على $x$ و $y$ ولكن $y$ ليست مفصولة أو معزولة بمفردها، مثل:

$$x^2 + y^2 = 25$$

هنا لا توجد $y = \ldots$، بل هي علاقة تربط $x$ و $y$ معًا.

✅ ثانياً: ما معنى “معادلة تفاضلية”؟

هي معادلة تحتوي على مشتقات، مثل:

$$\frac{dy}{dx} + y = x$$

🧠 المطلوب: كيف نوجد $\frac{dy}{dx}$ إذا كانت العلاقة ضمنية؟

نستخدم المشتقة الضمنية (Implicit Differentiation)

🛠️ خطوات الحل:

مثال:

$$x^2 + y^2 = 25$$

نريد إيجاد $\frac{dy}{dx}$

1. نشتق الطرفين بالنسبة إلى $x$:

$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$

2. نشتق كل حد:

$$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

تذكر: نشتق $y^2$ كـ $2y \cdot \frac{dy}{dx}$ لأنها دالة ضمنية في $x$.

3. نحاول عزل $\frac{dy}{dx}$:

$$2y \frac{dy}{dx} = -2x$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{2y} = \frac{-x}{y}$$

مثال آخر (معقد قليلاً):

$$xy + y^2 = 10$$

1. نشتق الطرفين:

$$\frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(10)$$

2. نطبق قاعدة الجداء على $xy$:

$$x \frac{dy}{dx} + y + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

3. نجمع الحدود التي فيها $\frac{dy}{dx}$:

$$(x + 2y)\frac{dy}{dx} = -y$$

4. نحصل على:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{-y}{x + 2y}$$

السؤال: رقم 2

هل المعادلة $y^2 = 3x^2 + x^3$ هي معادلة تفاضلية؟

الحل:

1️⃣ تعريف المعادلة التفاضلية:

المعادلة التفاضلية هي المعادلة التي تحتوي على مشتقات، مثل $\frac{dy}{dx}$ أو $\frac{d^2y}{dx^2}$، وغير ذلك من المشتقات.

2️⃣ فحص المعادلة المعطاة:

المعادلة المعطاة هي:

$$y^2 = 3x^2 + x^3$$

هذه المعادلة تحتوي على $x$ و $y$ فقط، لكنها لا تحتوي على أي مشتقات. إذن، هي ليست معادلة تفاضلية في شكلها الحالي.

3️⃣ اشتقاق المعادلة لإيجاد العلاقة التفاضلية

نشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$:

$$\frac{d}{dx} \left( y^2 \right) = \frac{d}{dx} \left( 3x^2 + x^3 \right)$$

نطبق قاعدة الاشتقاق:

• مشتقة $y^2$ باستخدام الاشتقاق الضمني هي: $2y \frac{dy}{dx}$.
• مشتقة $3x^2$ هي $6x$.
• مشتقة $x^3$ هي $3x^2$.

إذن نحصل على:

$$2y \frac{dy}{dx} = 6x + 3x^2$$

4️⃣ إيجاد $\frac{dy}{dx}$

نقسم على $2y$ للحصول على المشتقة:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{6x + 3x^2}{2y}$$

5️⃣ هل المعادلة تفاضلية؟

• المعادلة الأصلية ليست تفاضلية لأنها لا تحتوي على مشتقات.
• بعد الاشتقاق حصلنا على معادلة تفاضلية.

💡 إذن، المعادلة المعطاة ليست تفاضلية، لكنها يمكن أن تُشتق لإنتاج معادلة تفاضلية.