المعادلات التفاضلية إذا لم تتعدد المشتقات

المعادلات التفاضلية إذا لم تتعدد المشتقات

عندما نقول “إذا لم تتعدد المشتقات”، فإننا نقصد أن المعادلة تحتوي على مشتقة أولى فقط $\frac{dy}{dx}$ دون مشتقات أعلى مثل $\frac{d^2y}{dx^2}$ أو أكثر.

1️⃣ تعريف المعادلة التفاضلية البسيطة

هي المعادلة التي تحتوي على متغيرات $x$ و $y$ بالإضافة إلى المشتقة الأولى فقط $\frac{dy}{dx}$.

مثال:

$$\frac{dy}{dx} + y = x$$

هذه المعادلة تفاضلية لأنها تحتوي على مشتقة $\frac{dy}{dx}$، ولكنها ليست من الرتبة الثانية أو أعلى.

2️⃣ أنواع المعادلات التفاضلية البسيطة

أ. المعادلات التفاضلية العادية من الرتبة الأولى:

تكون على الشكل:

$$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$

حيث $f(x, y)$ دالة في $x$ و $y$.

🔹 مثال:

$$\frac{dy}{dx} = x + y$$

هذه معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى لأنها تحتوي على مشتقة أولى فقط.

ب. المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الأولى:

إذا كانت على الشكل:

$$\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

فهي معادلة خطية من الرتبة الأولى.

🔹 مثال:

$$\frac{dy}{dx} + 3y = 2x$$

هي معادلة خطية لأن المشتقة الأولى فقط موجودة، ولا توجد مشتقات أعلى.

3️⃣ طريقة الحل إذا لم تتعدد المشتقات

🔹 إذا كانت المعادلة قابلة للفصل:
عندما تكون على شكل $\frac{dy}{dx} = f(x) g(y)$، يمكن فصل المتغيرات:

$$\frac{dy}{g(y)} = f(x) dx$$

ثم نكامل الطرفين.

📌 مثال على حل معادلة قابلة للفصل:

$$\frac{dy}{dx} = xy$$

نفصل المتغيرات:

$$\frac{dy}{y} = x dx$$

نُجري التكامل:

$$\ln |y| = \frac{x^2}{2} + C$$

🔹 إذا كانت المعادلة خطية:
نستخدم العامل التكاملي:

$$I(x) = e^{\int P(x)dx}$$

ونضرب به لحل المعادلة.

📌 مثال:

$$\frac{dy}{dx} + 2y = 3x$$

العامل التكاملي:

$$I(x) = e^{\int 2dx} = e^{2x}$$

نضرب المعادلة بـ $e^{2x}$ ثم نكامل.

4️⃣ ملاحظات هامة

✅ إذا كانت المعادلة تحتوي على المشتقة الأولى فقط فهي من الرتبة الأولى.
✅ إذا لم تتعدد المشتقات، فطرق الحل تكون إما بفصل المتغيرات أو باستخدام العامل التكاملي إذا كانت المعادلة خطية.
✅ المعادلات التي تحتوي فقط على $\frac{dy}{dx}$ ولا تحتوي على $\frac{d^2y}{dx^2}$ أو أعلى تُحل عادة بطرق أبسط من المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية.

السؤال: رقم 6

هل المعادلة $2x^2 + y^2 = 1$ هي معادلة تفاضلية؟
وإذا لم تكن تفاضلية، فأوجد المعادلة التفاضلية المشتقة منها.

الحل:

1️⃣ تعريف المعادلة التفاضلية:

المعادلة التفاضلية هي التي تحتوي على مشتقات مثل $\frac{dy}{dx}$ أو $\frac{d^2y}{dx^2}$.

2️⃣ فحص المعادلة المعطاة:

المعادلة هي:

$$2x^2 + y^2 = 1$$

هذه المعادلة تحتوي على $x$ و $y$ فقط، ولكن لا تحتوي على أي مشتقات، لذلك هي ليست معادلة تفاضلية.

3️⃣ إيجاد المعادلة التفاضلية عن طريق الاشتقاق

نشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$:

$$\frac{d}{dx} (2x^2 + y^2) = \frac{d}{dx} (1)$$

نطبق قاعدة الاشتقاق:

• مشتقة $2x^2$ هي $4x$.
• مشتقة $y^2$ باستخدام الاشتقاق الضمني هي $2y \frac{dy}{dx}$.
• مشتقة $1$ هي $0$.

إذن نحصل على:

$$4x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

4️⃣ إيجاد $\frac{dy}{dx}$

نقسم على $2y$ للحصول على:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{-4x}{2y} = \frac{-2x}{y}$$

5️⃣ إيجاد المعادلة التفاضلية الثانية

نشتق المعادلة التفاضلية مرة أخرى للحصول على المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية:

نشتق:

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{-2x}{y} \right)$$

باستخدام قاعدة القسمة:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(-2y) \cdot \frac{dy}{dx} + 2x \cdot \frac{d}{dx} (y)}{y^2}$$

وبالتعويض نحصل على:

$$y^3 \frac{d^2y}{dx^2} = -2$$

6️⃣ النتيجة النهائية:

• المعادلة الأصلية ليست تفاضلية.
• بعد الاشتقاق مرتين، حصلنا على المعادلة التفاضلية:

$$y^3 \frac{d^2y}{dx^2} = -2$$