انسحاب المحاور للقطع الزائد / المحاضرة الآخيرة

انسحاب المحاور للقطع الزائد وطرق الحل

1. مفهوم انسحاب المحاور

انسحاب المحاور هو تحويل هندسي يتم فيه نقل المحاور الإحداثية إلى موضع جديد دون دوران، مما يسهل التعامل مع معادلات الأشكال الهندسية المعقدة مثل القطع الزائد. يُستخدم هذا الأسلوب لتحويل المعادلات التي تحتوي على الحد $xy$ (المتغيرات المختلطة) إلى صورة أبسط يسهل تحليلها وحلها.

2. معادلة القطع الزائد العامة

المعادلة العامة للقطع الزائد في المستوى الإحداثي هي:

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$$

عندما يكون $B \neq 0$، فهذا يعني أن المحاور ليست موازية للمحاور الإحداثية العادية، ولإزالة الحد $xy$، نستخدم دوران المحاور.

3. تحويل المحاور للتخلص من الحد $xy$

لتبسيط المعادلة، نقوم بتدوير المحاور بزاوية $\theta$ بحيث يتم إلغاء الحد المختلط $xy$. يتم إيجاد الزاوية باستخدام العلاقة:

$$\tan 2\theta = \frac{B}{A – C}$$

وباستخدام الزاوية $\theta$، يمكننا تعريف الإحداثيات الجديدة:

$$x’ = x \cos\theta + y \sin\theta$$ $$y’ = -x \sin\theta + y \cos\theta$$

بعد التعويض في المعادلة الأصلية، نحصل على معادلة جديدة بدون الحد $xy$، وهي معادلة القطع الزائد بالشكل المعياري.

4. الصورة القياسية للقطع الزائد

بعد تطبيق الدوران والانسحاب، تصبح معادلة القطع الزائد في الصورة القياسية:

$$\frac{(x’ – h)^2}{a^2} – \frac{(y’ – k)^2}{b^2} = 1$$

حيث $(h, k)$ هو مركز القطع الزائد، و $a$ و $b$ هما القيم التي تحدد شكل القطع.

5. طرق حل المسائل بعد الانسحاب

عند التعامل مع القطع الزائد بعد انسحاب المحاور، يمكن اتباع الخطوات التالية:

1. إيجاد الزاوية $\theta$ التي تلغي الحد المختلط $xy$.
2. تدوير المحاور باستخدام تحويل الإحداثيات $(x’, y’)$.
3. إعادة كتابة المعادلة بدون الحد $xy$.
4. تحويل المعادلة إلى الصورة القياسية للقطع الزائد.
5. تحليل القطع الزائد لإيجاد خصائصه مثل المركز، المحاور، والبؤرتين.

6. مثال محلول

المعادلة المعطاة:

$$4x^2 + 3xy – 4y^2 – 5x + 7y + 2 = 0$$

1. حساب الزاوية $\theta$:

   $$\tan 2\theta = \frac{3}{4 – (-4)} = \frac{3}{8}$$نجد $\theta$ من خلال حساب $\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{3}{8})$.

2. إجراء التدوير باستخدام تحويل الإحداثيات.
3. إعادة كتابة المعادلة في الصورة بدون الحد $xy$.
4. تحليل المعادلة للوصول إلى الصورة القياسية للقطع الزائد.

بهذه الطريقة، يصبح حل المعادلة أسهل وأوضح، مما يساعد في فهم خصائص القطع الزائد بسهولة.

السؤال:

جد إحداثي البؤرتين والرؤوس والمركز وطول المحورين والاختلاف المركزي للقطع الزائد في كل مما يلي:

$$\frac{(x+2{)}^2}{9}-\frac{(y-1{)}^2}{4}=1$$

حل المعادلة وإيجاد العناصر المطلوبة للقطع الزائد

المعادلة المعطاة:

$$\frac{(x+2)^2}{9} – \frac{(y-1)^2}{4} = 1$$

نلاحظ أن المعادلة على الصورة القياسية للقطع الزائد الأفقي:

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} – \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$

1- تحديد المركز (h, k):

بمقارنة المعادلة المعطاة مع الصورة القياسية نجد أن:

• $h = -2$
• $k = 1$

إذن، مركز القطع الزائد هو:

$$(-2, 1)$$

2- تحديد $a$ و $b$:

• $a^2 = 9$ ⟹ $a = 3$
• $b^2 = 4$ ⟹ $b = 2$

3- إحداثيات الرؤوس:

الرؤوس تقع على المحور الأفقي لأن القطر الرئيسي أفقي، أي أن إحداثياتها تعطى بالعلاقة:

$$(h \pm a, k)$$

وبالتعويض:

$$(-2 \pm 3, 1)$$

⟹ الرؤوس هما:

$$(1, 1) \quad \text{و} \quad (-5, 1)$$

4- إحداثيات البؤرتين:

تحسب البؤرتان باستخدام العلاقة:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

بالتعويض:

$$c^2 = 9 + 4 = 13$$ $$c = \sqrt{13}$$

وبما أن البؤرتين تقعان أيضًا على المحور الأفقي، فإن إحداثياتهما:

$$(h \pm c, k)$$

أي:

$$(-2 \pm \sqrt{13}, 1)$$

⟹ البؤرتان هما:

$$(-2 + \sqrt{13}, 1) \quad \text{و} \quad (-2 – \sqrt{13}, 1)$$

5- طول المحورين:

• طول المحور الحقيقي = $2a = 2 \times 3 = 6$.
• طول المحور التخيلي = $2b = 2 \times 2 = 4$.

6- الاختلاف المركزي:

الاختلاف المركزي للقطع الزائد يُحسب كالتالي:

$$e = \frac{c}{a}$$ $$e = \frac{\sqrt{13}}{3}$$

النتائج النهائية:

• المركز: $(-2,1)$
• الرؤوس: $(1,1)$ و $(-5,1)$
• البؤرتان: $(-2+\sqrt{13},1)$ و $(-2-\sqrt{13},1)$
• طول المحور الحقيقي: 6
• طول المحور التخيلي: 4
• الاختلاف المركزي: $\frac{\sqrt{13}}{3}$

$$\frac{(x+2)^2}{9} – \frac{(y-1)^2}{4} = 1$$