انسحاب المحاور للقطع المكافئ / الجزء الأول

انسحاب المحاور للقطع المكافئ يعني تغيير موضع القطع المكافئ في مستوى الإحداثيات دون تغيير شكله الأساسي. يتم ذلك عن طريق تحويل الإحداثيات الأصلية إلى إحداثيات جديدة عبر تحويلات الإزاحة (الانتقال).

1. الشكل العام للقطع المكافئ:

• الشكل القياسي للقطع المكافئ هو: $$y^2 = 4ax \quad \text{أو} \quad x^2 = 4ay$$
• عندما يتم إزاحة المحاور، فإن معادلة القطع المكافئ تتغير وفقًا لموضع القمة الجديدة.

2. انسحاب المحاور وتأثيره على المعادلة:

إذا تم نقل القمة (vertex) من النقطة الأصلية $(0,0)$ إلى النقطة $(h, k)$، فإن معادلة القطع المكافئ تتحول كما يلي:

أ. القطع المكافئ الأفقي $y^2 = 4ax$

عند نقل القمة إلى $(h, k)$، تصبح المعادلة:

$$(y – k)^2 = 4a(x – h)$$

ب. القطع المكافئ الرأسي $x^2 = 4ay$

عند نقل القمة إلى $(h, k)$، تصبح المعادلة:

$$(x – h)^2 = 4a(y – k)$$

3. تفسير الهندسي لانسحاب المحاور:

• $h$ يمثل مقدار الإزاحة على المحور الأفقي (الانتقال إلى اليمين إذا كان موجبًا، وإلى اليسار إذا كان سالبًا).
• $k$ يمثل مقدار الإزاحة على المحور الرأسي (الانتقال إلى الأعلى إذا كان موجبًا، وإلى الأسفل إذا كان سالبًا).
• تبقى البؤرة (Focus) ودليل القطع (Directrix) والمحور البؤري (Axis of Symmetry) متحركين بنفس مقدار الإزاحة $(h, k)$.

4. مثال توضيحي:

لنفترض أن لدينا القطع المكافئ:

$$y^2 = 8x$$

إذا نقلنا القمة إلى النقطة $(3, -2)$، فإن المعادلة الجديدة تصبح:

$$(y + 2)^2 = 8(x – 3)$$

5. تطبيقات انسحاب المحاور:

• يُستخدم في الهندسة التحليلية لتسهيل دراسة منحنيات القطع المكافئ.
• يُساعد في حل مسائل المسارات الباليستية والفيزياء.
• يُستخدم في الرسوميات الحاسوبية ومعالجة الصور.

قوانين انسحاب المحاور للقطع المكافئ

عند إزاحة المحاور (انسحابها) بحيث يتم نقل القمة (Vertex) للقطع المكافئ من النقطة $(0,0)$ إلى النقطة $(h, k)$، تتغير معادلته وفق القوانين التالية:

1. القطع المكافئ الأفقي $y^2 = 4ax$

قبل الانسحاب:

$$y^2 = 4ax$$

بعد الانسحاب إلى القمة $(h, k)$:

$$(y – k)^2 = 4a (x – h)$$

• القمة الجديدة: $(h, k)$
• البؤرة الجديدة: $(h + a, k)$
• المحور البؤري: الخط المستقيم $y = k$
• المعادلة الجديدة للدليل: $x = h – a$

2. القطع المكافئ الرأسي $x^2 = 4ay$

قبل الانسحاب:

$$x^2 = 4ay$$

بعد الانسحاب إلى القمة $(h, k)$:

$$(x – h)^2 = 4a (y – k)$$

• القمة الجديدة: $(h, k)$
• البؤرة الجديدة: $(h, k + a)$
• المحور البؤري: الخط المستقيم $x = h$
• المعادلة الجديدة للدليل: $y = k – a$

3. ملاحظات هامة على قوانين انسحاب المحاور:

• إذا كان الانتقال إلى اليمين بمقدار $h$ وإلى الأعلى بمقدار $k$، فإننا نعوّض $x – h$ و$y – k$ في المعادلة الأصلية.
• تبقى قيمة $a$ كما هي، لأنها تحدد مدى انفتاح القطع المكافئ.
• يمكن تطبيق نفس القوانين على أي قطع مكافئ مائل بعد إجراء تحويلات مناسبة.

مثال عملي:

لنفترض أن لدينا القطع المكافئ:

$$y^2 = 12x$$

إذا تم نقل القمة إلى $(4, -3)$، فإن المعادلة الجديدة تصبح:

$$(y + 3)^2 = 12(x – 4)$$

💡 هل لديك حالة معينة تريد تطبيق القوانين عليها؟ 😊