انسحاب المحاور للقطع الناقص / الجزء الاول

انسحاب المحاور للقطع الناقص

عند التعامل مع القطع الناقص، قد يكون من الضروري تغيير نظام الإحداثيات من خلال إجراء انسحاب للمحاور. يتم ذلك لتحويل معادلة القطع الناقص إلى شكل أبسط أو إلى مركز جديد أكثر ملاءمة للحسابات.

1. مفهوم انسحاب المحاور

انسحاب المحاور يعني تغيير نقطة الأصل (0,0) إلى نقطة جديدة $(h, k)$، مما يؤدي إلى إعادة تعريف الإحداثيات كالتالي:

$$x’ = x – h, \quad y’ = y – k$$

حيث:

• $(h, k)$ هي إحداثيات المركز الجديد بعد الانسحاب.
• $(x’, y’)$ هي الإحداثيات الجديدة بعد التحويل.

2. معادلة القطع الناقص العامة

المعادلة العامة للقطع الناقص هي:

$$Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0$$

إذا كان القطع الناقص غير متمركز في الأصل ويراد نقله إلى مركز جديد، يتم ذلك بتغيير الإحداثيات باستخدام الانسحاب.

3. تطبيق الانسحاب على المعادلة القياسية

المعادلة القياسية للقطع الناقص المتمركز عند $(h, k)$ هي:

$$\frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1$$

حيث:

• $(h, k)$ هو المركز الجديد بعد الانسحاب.
• $a$ و$b$ هما نصفي المحورين الرئيسي والثانوي.

4. خطوات تنفيذ انسحاب المحاور

1. تحديد مركز القطع الناقص الحالي: من المعادلة الأصلية يتم تحديد $(h, k)$ باستخدام إكمال المربع.
2. إجراء التغيير في الإحداثيات: استبدال $x$ بـ $x’ + h$ و$y$ بـ $y’ + k$.
3. إعادة كتابة المعادلة بحيث تأخذ الشكل القياسي.
4. تحليل المعادلة الجديدة لتحديد المحاور الجديدة وشكل القطع الناقص بعد النقل.

مثال تطبيقي

إذا كان لدينا المعادلة:

$$4x^2 + 9y^2 – 24x + 18y + 36 = 0$$

الخطوة 1: إعادة ترتيب الحدود

$$4(x^2 – 6x) + 9(y^2 + 2y) = -36$$

الخطوة 2: إكمال المربع

• إكمال المربع لـ $x^2 – 6x$: $$x^2 – 6x = (x – 3)^2 – 9$$
• إكمال المربع لـ $y^2 + 2y$: $$y^2 + 2y = (y + 1)^2 – 1$$

الخطوة 3: إعادة كتابة المعادلة

$$4[(x – 3)^2 – 9] + 9[(y + 1)^2 – 1] = -36$$ $$4(x – 3)^2 – 36 + 9(y + 1)^2 – 9 = -36$$ $$4(x – 3)^2 + 9(y + 1)^2 = 9$$

الخطوة 4: تحويلها إلى الصيغة القياسية

$$\frac{(x – 3)^2}{\frac{9}{4}} + \frac{(y + 1)^2}{1} = 1$$

إذن، معادلة القطع الناقص بعد الانسحاب هي:

$$\frac{(x – 3)^2}{2.25} + \frac{(y + 1)^2}{1} = 1$$

وهذا يعني أن المركز الجديد للقطع الناقص هو $(3, -1)$.

الخلاصة

• انسحاب المحاور يتم بتغيير الأصل إلى $(h, k)$.
• يتم ذلك عن طريق استبدال $x$ و$y$ بالقيم الجديدة $x – h$ و$y – k$.
• الهدف من الانسحاب هو جعل معادلة القطع الناقص أكثر وضوحًا وسهولة في التحليل.