انسحاب المحاور للقطع الناقص / الجزء الثاني

السؤال:

عين البؤرتان والرأسان والتباعد وطول ومعادلة كل من المحورين للقطع الناقص، ثم جد الاختلاف المركزي:

$9x^2 + 16y^2 – 72x – 96y + 144 = 0$

حل المعادلة وتحليل القطع الناقص

1. كتابة المعادلة بالصيغة القياسية

المعادلة المعطاة:

$$9x^2 + 16y^2 – 72x – 96y + 144 = 0$$

أ. ترتيب الحدود بحسب المتغيرات:

$$9x^2 – 72x + 16y^2 – 96y + 144 = 0$$

ب. نقل 144 للطرف الآخر:

$$9x^2 – 72x + 16y^2 – 96y = -144$$

ج. إكمال المربع للحدود ذات المتغير $x$ و$y$:

• بالنسبة لـ $x$:

$$9(x^2 – 8x)$$

إكمال المربع: نضيف ونطرح $\left(\frac{-8}{2}\right)^2 = 16$

$$9(x^2 – 8x + 16 – 16)$$ $$9((x – 4)^2 – 16)$$

• بالنسبة لـ $y$:

$$16(y^2 – 6y)$$

إكمال المربع: نضيف ونطرح $\left(\frac{-6}{2}\right)^2 = 9$

$$16(y^2 – 6y + 9 – 9)$$ $$16((y – 3)^2 – 9)$$

د. إعادة كتابة المعادلة:

$$9((x – 4)^2 – 16) + 16((y – 3)^2 – 9) = -144$$ $$9(x – 4)^2 – 144 + 16(y – 3)^2 – 144 = -144$$ $$9(x – 4)^2 + 16(y – 3)^2 = 144$$

هـ. قسمة المعادلة على 144 للحصول على الصيغة القياسية:

$$\frac{9(x – 4)^2}{144} + \frac{16(y – 3)^2}{144} = 1$$ $$\frac{(x – 4)^2}{16} + \frac{(y – 3)^2}{9} = 1$$

2. تحديد عناصر القطع الناقص

من الصيغة القياسية:

$$\frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1$$

• مركز القطع الناقص: $(h, k) = (4, 3)$
• $a^2 = 16 \Rightarrow a = 4$
• $b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$

3. تحديد البؤرتين والرؤوس والتباعد والاختلاف المركزي

أ. نوع القطع الناقص:

بما أن $a^2 > b^2$، فهو أفقي، أي أن المحور الأكبر أفقي.

ب. الرؤوس:

الرؤوس تقع على المحور الأكبر:

$$(x \pm a, y) \Rightarrow (4 \pm 4, 3)$$ $$(0,3) , (8,3)$$

ج. البؤرتان:

لحساب $c$:

$$c^2 = a^2 – b^2$$ $$c^2 = 16 – 9 = 7$$ $$c = \sqrt{7}$$

البؤرتان:

$$(x \pm c, y) \Rightarrow (4 \pm \sqrt{7}, 3)$$

د. التباعد البؤري:

التباعد البؤري هو المسافة بين البؤرتين:

$$2c = 2\sqrt{7}$$

هـ. الاختلاف المركزي:

$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{4}$$

و. معادلات المحورين:

• المحور الأكبر (أفقي): $y = 3$
• المحور الأصغر (عمودي): $x = 4$

الإجابات النهائية:

• المركز: $(4,3)$
• الرؤوس: $(0,3)$ و$(8,3)$
• البؤرتان: $(4 – \sqrt{7}, 3)$ و$(4 + \sqrt{7}, 3)$
• التباعد البؤري: $2\sqrt{7}$
• الاختلاف المركزي: $\frac{\sqrt{7}}{4}$
• معادلة المحور الأكبر: $y = 3$
• معادلة المحور الأصغر: $x = 4$

السؤال الظاهر في الصورة هو:

عين البؤرتان والرؤوس والتباعد وطول ومعادلة كل من المحورين للقطع الناقص ثم جد الاختلاف المركزي:

$x^2 + 25y^2 + 4x – 150y + 204 = 0$

لحل المسألة وإيجاد عناصر القطع الناقص، نتبع الخطوات التالية:

1- إعادة كتابة المعادلة بصيغة القطع الناقص القياسية

المعادلة المعطاة:

$$x^2 + 25y^2 + 4x – 150y + 204 = 0$$

نرتب الحدود المتعلقة بـ $x$ و $y$ معًا:

$$(x^2 + 4x) + 25(y^2 – 6y) = -204$$

2- إكمال المربع

نُكمل المربع لكل من $x$ و $y$:

بالنسبة لـ $x$:

• نأخذ المعادلة $x^2 + 4x$.
• نكمل المربع بإضافة $\left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4$.
• يصبح الشكل: $(x+2)^2 – 4$.

بالنسبة لـ $y$:

• نأخذ المعادلة $y^2 – 6y$.
• نكمل المربع بإضافة $\left(\frac{-6}{2}\right)^2 = 9$.
• يصبح الشكل: $(y – 3)^2 – 9$.

بالتعويض في المعادلة الأصلية:

$$(x+2)^2 – 4 + 25((y-3)^2 – 9) = -204$$

نبسطها:

$$(x+2)^2 – 4 + 25(y-3)^2 – 225 = -204$$ $$(x+2)^2 + 25(y-3)^2 – 229 = -204$$ $$(x+2)^2 + 25(y-3)^2 = 25$$

3- قسمة المعادلة على 25 للحصول على الصيغة القياسية

$$\frac{(x+2)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{1} = 1$$

وهذه هي معادلة القطع الناقص بالصورة القياسية.

4- تحديد عناصر القطع الناقص

من المعادلة:

$$\frac{(x+2)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{1} = 1$$

المركز:

$$(-2,3)$$

المحور الأكبر والأصغر:

• $a^2 = 25 \Rightarrow a = 5$ (طول المحور الأكبر $2a = 10$)
• $b^2 = 1 \Rightarrow b = 1$ (طول المحور الأصغر $2b = 2$)

البؤرتان:

البؤرتان تحسبان باستخدام:

$$c^2 = a^2 – b^2 = 25 – 1 = 24 \Rightarrow c = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$

البؤرتان تقعان على طول المحور الأكبر، وهو المحور الأفقي هنا، أي:

$$F_1 = (-2 – 2\sqrt{6}, 3), \quad F_2 = (-2 + 2\sqrt{6}, 3)$$

الرؤوس:

الرؤوس على المحور الأكبر:

$$V_1 = (-2 – 5, 3) = (-7,3), \quad V_2 = (-2 + 5, 3) = (3,3)$$

التباعد المركزي:

$$e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$$

5- معادلة المحورين

• المحور الأكبر: يقع على المستقيم $y = 3$
• المحور الأصغر: يقع على المستقيم $x = -2$

النتائج النهائية

• المركز: $(-2,3)$
• الرؤوس: $(-7,3)$ و $(3,3)$
• البؤرتان: $(-2 – 2\sqrt{6}, 3)$ و $(-2 + 2\sqrt{6}, 3)$
• طول المحور الأكبر: 10
• طول المحور الأصغر: 2
• التباعد المركزي: $\frac{2\sqrt{6}}{5}$
• معادلة المحور الأكبر: $y = 3$
• معادلة المحور الأصغر: $x = -2$