تكاملات الدوال اللوغارتمية والأسية – اسئلة وازارية

حل الاسئلة الوازرية في تكاملات الدوال اللوغارتمية والأسية

السؤال هو:
احسب التكامل التالي:

$$\int_{0}^{\ln 2} e^{-x} \, dx$$

لحل التكامل التالي:

$$I = \int_{0}^{\ln 2} e^{-x} \, dx$$

الخطوة 1: إيجاد التكامل غير المحدد

نستخدم القاعدة الأساسية لتكامل $e^{ax}$:

$$\int e^{ax} \, dx = \frac{e^{ax}}{a} + C, \quad \text{حيث } a \neq 0.$$

في حالتنا، لدينا $a = -1$، فيكون التكامل:

$$\int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C.$$

الخطوة 2: حساب التكامل المحدد

نطبق حدود التكامل من $x = 0$ إلى $x = \ln 2$:

$$I = \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{\ln 2}.$$

نحسب القيم عند الحدود:

• عند $x = \ln 2$:

$$-e^{-\ln 2} = -\frac{1}{e^{\ln 2}} = -\frac{1}{2}.$$

• عند $x = 0$:

$$-e^{0} = -1.$$

الخطوة 3: إيجاد الناتج النهائي

$$I = \left( -\frac{1}{2} \right) – (-1)$$ $$I = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}.$$

الإجابة النهائية:

$$\frac{1}{2}$$

السؤال هو:
احسب التكامل التالي:

$$I = \int_{0}^{1} \frac{3x^2 + 4}{x^3 + 4x + 1} \, dx$$

لحل التكامل التالي:

$$I = \int_{0}^{1} \frac{3x^2 + 4}{x^3 + 4x + 1} \, dx$$

الخطوة 1: التحقق من وجود مشتقة في البسط

نلاحظ أن المقام هو:

$$f(x) = x^3 + 4x + 1$$

نحسب مشتقته:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 + 4x + 1) = 3x^2 + 4.$$

وهو يساوي تمامًا البسط $3x^2 + 4$، مما يعني أن التكامل يأخذ الشكل:

$$I = \int_{0}^{1} \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx.$$

الخطوة 2: تطبيق قاعدة اللوغاريتم

نستخدم القاعدة:

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln |f(x)| + C.$$

وبالتالي، نحصل على:

$$I = \ln |x^3 + 4x + 1| \Big|_{0}^{1}.$$

الخطوة 3: حساب القيم عند الحدود

• عند $x = 1$:

$$\ln |1^3 + 4(1) + 1| = \ln |1 + 4 + 1| = \ln 6.$$

• عند $x = 0$:

$$\ln |0^3 + 4(0) + 1| = \ln |1| = \ln 1 = 0.$$

الخطوة 4: حساب الناتج النهائي

$$I = \ln 6 – 0 = \ln 6.$$

الإجابة النهائية:

$$\ln 6.$$

السؤال هو:
احسب التكامل التالي:

$$I = \int \frac{5x^2}{3x^3 + 7} \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \frac{5x^2}{3x^3 + 7} \, dx$$

الخطوة 1: التحقق من وجود مشتقة في البسط

نلاحظ أن المقام هو:

$$f(x) = 3x^3 + 7$$

نحسب مشتقته:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^3 + 7) = 9x^2.$$

البسط هو $5x^2$، وهو ليس بالضبط $9x^2$، ولكن يمكننا إعادة كتابة البسط بالشكل:

$$5x^2 = \frac{5}{9} \cdot 9x^2.$$

الخطوة 2: إعادة كتابة التكامل

نكتب التكامل بالشكل:

$$I = \int \frac{\frac{5}{9} \cdot 9x^2}{3x^3 + 7} \, dx.$$

نخرج الثابت $\frac{5}{9}$ خارج التكامل:

$$I = \frac{5}{9} \int \frac{9x^2}{3x^3 + 7} \, dx.$$

الخطوة 3: تطبيق قاعدة اللوغاريتم

بما أن البسط هو مشتقة المقام، فإن التكامل يأخذ الشكل:

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln |f(x)| + C.$$

إذن:

$$I = \frac{5}{9} \ln |3x^3 + 7| + C.$$

الإجابة النهائية:

$$I = \frac{5}{9} \ln |3x^3 + 7| + C.$$

السؤال هو:
احسب التكامل التالي:

$$I = \int_{0}^{3} \frac{1}{x+1} \, dx$$

لحل التكامل التالي:

$$I = \int_{0}^{3} \frac{1}{x+1} \, dx$$

الخطوة 1: التعرف على قاعدة التكامل

نعلم أن:

$$\int \frac{1}{x+a} \, dx = \ln |x+a| + C.$$

في هذه الحالة، لدينا $a = 1$، وبالتالي:

$$\int \frac{1}{x+1} \, dx = \ln |x+1|.$$

الخطوة 2: حساب التكامل المحدد

نطبق حدود التكامل من $x = 0$ إلى $x = 3$:

$$I = \ln |x+1| \Big|_{0}^{3}.$$

نحسب القيم عند الحدود:

• عند $x = 3$:

$$\ln |3+1| = \ln 4.$$

• عند $x = 0$:

$$\ln |0+1| = \ln 1 = 0.$$

الخطوة 3: إيجاد الناتج النهائي

$$I = \ln 4 – 0 = \ln 4.$$

الإجابة النهائية:

$$\ln 4.$$

السؤال مهم هو:
احسب التكامل التالي:

$$I = \int_{0}^{4} \frac{2x}{x^2 + 9} \, dx$$

لحل التكامل التالي:

$$I = \int_{0}^{4} \frac{2x}{x^2 + 9} \, dx$$

الخطوة 1: التعرف على قاعدة التكامل

نلاحظ أن مشتقة المقام $f(x) = x^2 + 9$ هي:

$$f'(x) = 2x.$$

وهذا يتطابق تمامًا مع البسط $2x$. لذا يمكننا إعادة كتابة التكامل بالشكل:

$$I = \int_{0}^{4} \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx.$$

وهذا يتطابق مع القاعدة العامة:

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln |f(x)| + C.$$

الخطوة 2: تطبيق القاعدة

بما أن $f(x) = x^2 + 9$، فإن:

$$I = \ln |x^2 + 9| \Big|_{0}^{4}.$$

الخطوة 3: حساب القيم عند الحدود

• عند $x = 4$:

$$\ln |4^2 + 9| = \ln |16 + 9| = \ln 25.$$

• عند $x = 0$:

$$\ln |0^2 + 9| = \ln |9| = \ln 9.$$

الخطوة 4: إيجاد الناتج النهائي

$$I = \ln 25 – \ln 9.$$

وباستخدام خصائص اللوغاريتمات:

$$I = \ln \frac{25}{9}.$$

الإجابة النهائية:

$$I = \ln \frac{25}{9}.$$

السؤال هو:
احسب التكامل التالي:

$$I = \int_{\ln 3}^{\ln 5} e^{2x} \, dx$$

لحل التكامل التالي:

$$I = \int_{\ln 3}^{\ln 5} e^{2x} \, dx$$

الخطوة 1: حساب التكامل غير المحدد

نعلم أن:

$$\int e^{ax} \, dx = \frac{e^{ax}}{a} + C.$$

في حالتنا، لدينا $a = 2$، لذا يكون التكامل:

$$\int e^{2x} \, dx = \frac{e^{2x}}{2} + C.$$

الخطوة 2: تطبيق حدود التكامل

نطبق الحدود $x = \ln 3$ و $x = \ln 5$:

$$I = \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_{\ln 3}^{\ln 5}.$$

نحسب القيم عند الحدود:

• عند $x = \ln 5$:

$$\frac{e^{2 \ln 5}}{2} = \frac{(e^{\ln 5})^2}{2} = \frac{5^2}{2} = \frac{25}{2}.$$

• عند $x = \ln 3$:

$$\frac{e^{2 \ln 3}}{2} = \frac{(e^{\ln 3})^2}{2} = \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2}.$$

الخطوة 3: إيجاد الناتج النهائي

$$I = \frac{25}{2} – \frac{9}{2} = \frac{25 – 9}{2} = \frac{16}{2} = 8.$$

الإجابة النهائية:

$$I = 8.$$