تكوين المعادلة التربيعية اذا علم جذراها / محاضرة 22

تقرير حول تكوين المعادلة التربيعية إذا علم جذراها

المقدمة

المعادلة التربيعية هي معادلة من الدرجة الثانية تأخذ الشكل العام:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

حيث أن $a, b, c$ أعداد حقيقية، و$a \neq 0$. تعتبر هذه المعادلة من الأساسيات في علم الجبر، ويمكن تكوينها بسهولة إذا كانت جذراها معروفتين. في هذا التقرير، سنوضح الطريقة المتبعة لتكوين المعادلة التربيعية عندما يكون الجذران معلومان، بالإضافة إلى شرح القواعد الرياضية المستخدمة.

الخطوات الأساسية لتكوين المعادلة التربيعية

الخطوة الأولى: معرفة جذري المعادلة

عند معرفة الجذرين $r_1$ و $r_2$ للمعادلة التربيعية، فإن هذين الجذرين يمثلان القيم التي تجعل المعادلة تساوي الصفر عند التعويض بهما.

الخطوة الثانية: استخدام الصيغة الأساسية للمعادلة التربيعية

تعتمد صيغة تكوين المعادلة التربيعية على الجذور، وهي:

$$(x – r_1)(x – r_2) = 0$$

حيث أن أي عدد إذا كان جذراً للمعادلة، فهذا يعني أن المعادلة تكون مساوية للصفر عند التعويض به.

الخطوة الثالثة: فك الأقواس والتبسيط

نقوم بتوسيع العبارتين داخل القوسين باستخدام خاصية توزيع الضرب على الجمع:

$$(x – r_1)(x – r_2) = x^2 – (r_1 + r_2)x + r_1 r_2 = 0$$

وهذه هي الصورة العامة للمعادلة التربيعية عندما يكون الجذران معروفين.

القواعد الرياضية المستخدمة

هناك قاعدتان رئيسيتان تربطان بين جذري المعادلة التربيعية ومعاملاتها:

1. مجموع الجذرين: $$r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}$$
2. حاصل ضرب الجذرين: $$r_1 \times r_2 = \frac{c}{a}$$

هاتان القاعدتان تساعدان في إعادة تشكيل المعادلة التربيعية إذا علم الجذران.

أمثلة تطبيقية

مثال 1

إذا كان الجذران هما $4$ و $-3$، فإن المعادلة التربيعية تكون:

$$(x – 4)(x + 3) = 0$$

بفك الأقواس:

$$x^2 + 3x – 4x – 12 = 0$$ $$x^2 – x – 12 = 0$$

إذن، المعادلة التربيعية المطلوبة هي:

$$x^2 – x – 12 = 0$$

مثال 2

إذا كان الجذران هما $\frac{5}{2}$ و $-2$، فإن المعادلة تكون:

$$\left(x – \frac{5}{2}\right)(x + 2) = 0$$

نضرب كل الحدود في 2 للتخلص من الكسر:

$$(2x – 5)(x + 2) = 0$$

بتوسيع الأقواس:

$$2x^2 + 4x – 5x – 10 = 0$$ $$2x^2 – x – 10 = 0$$

وهذه هي المعادلة التربيعية المطلوبة.

الخاتمة

تكوين المعادلة التربيعية عند معرفة جذريها يعتمد على القواعد الرياضية البسيطة التي تربط بين المعاملات والجذور. باستخدام الصيغة $(x – r_1)(x – r_2) = 0$ يمكن الحصول بسهولة على المعادلة التربيعية لأي قيمتين معلومتين للجذور، مما يجعل هذه الطريقة أداة مفيدة في حل المسائل الرياضية. لذا، فإن معرفة كيفية اشتقاق المعادلة التربيعية من الجذور يعد من المهارات الأساسية في الرياضيات التطبيقية.