محاضرة 12 / النوع الثالث / معادلة المنحني في المشتقات

فيما يلي شرح تفصيلي لمشتقات معادلة المنحنى في التفاضل بشكل مُبسّط وواضح:

أولًا: مفهوم مشتقة معادلة المنحنى:

مشتقة معادلة المنحنى هي دالة جديدة نحصل عليها من الدالة الأصلية $y = f(x)$، وتعطينا معلومات عن:

• ميل المنحنى (الميل اللحظي) عند نقطة محددة.
• سلوك المنحنى (متزايد، متناقص، ثابت).
• تحديد النقاط الحرجة (النهايات العظمى والصغرى، نقاط الانقلاب).

ثانيًا: الرموز المستخدمة:

• نرمز عادةً لمعادلة المنحنى بـ:

$$y = f(x)$$

• مشتقة معادلة المنحنى الأولى نرمز لها بـ:

$$y’ = \frac{dy}{dx} = f'(x)$$

• المشتقة الثانية:

$$y” = \frac{d^2y}{dx^2} = f”(x)$$

ثالثًا: مشتقات المنحنى ومعانيها:

① المشتقة الأولى $f'(x)$:

• تُعبّر عن ميل المماس للمنحنى عند نقطة معيّنة.
• تحدّد ما إذا كان المنحنى عند نقطة ما:
  • متزايد: إذا كانت $f'(x) > 0$.
  • متناقص: إذا كانت $f'(x) < 0$.
  • ثابت (أفقي): إذا كانت $f'(x) = 0$.

مثال سريع:
إذا كانت:

$$f(x) = x^3 – 3x^2 + 2$$

المشتقة الأولى تكون:

$$f'(x) = 3x^2 – 6x$$

② المشتقة الثانية $f”(x)$:

• تُعبّر عن تغيّر ميل المنحنى، أو ما يسمى “التقعّر”:
  • إذا كانت $f”(x) > 0$: يكون المنحنى مقعّرًا لأعلى (شكل U).
  • إذا كانت $f”(x) < 0$: يكون المنحنى مقعّرًا لأسفل (شكل ∩).
  • إذا كانت $f”(x) = 0$: قد توجد نقطة انقلاب (تغير تقعر المنحنى).

مثال سريع (استكمالًا للمثال السابق):
المشتقة الثانية:

$$f”(x) = 6x – 6$$

رابعًا: استخدام المشتقة الأولى والثانية معًا:

يمكن تحديد طبيعة النقاط الحرجة (القصوى أو الدنيا) كالتالي:

خامسًا: مثال توضيحي كامل (تفصيلي):

لتكن الدالة التالية:

$$f(x) = x^3 – 3x + 1$$

1. حساب المشتقة الأولى:

$$f'(x) = 3x^2 – 3$$

نساويها بالصفر لإيجاد النقاط الحرجة:

$$3x^2 – 3 = 0 \\ 3(x^2 – 1) = 0 \\ x^2 – 1 = 0 \\ (x – 1)(x + 1) = 0 \\ x = 1,\quad x = -1$$

النقاط الحرجة هي $x = 1,\quad x = -1$.

2. حساب المشتقة الثانية:

$$f”(x) = 6x$$

• عند النقطة $x = 1$:

$$f”(1) = 6(1) = 6 > 0$$

هذا يعني أن النقطة $x=1$ هي نقطة نهاية صغرى (محلية).

• عند النقطة $x = -1$:

$$f”(-1) = 6(-1) = -6 < 0$$

هذا يعني أن النقطة $x=-1$ هي نقطة نهاية عظمى (محلية).

3. إيجاد الإحداثيات الكاملة للنقاط: نعوض في الدالة الأصلية:

• عند $x=1$:

$$f(1)=1^3-3(1)+1=-1$$

النقطة: $(1,-1)$ نقطة نهاية صغرى.

• عند $x=-1$:

$$f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=3$$

النقطة: $(-1,3)$ نقطة نهاية عظمى.

ختامًا: ملخص سريع

• المشتقة الأولى $f'(x)$: لتحديد الميل والنقاط الحرجة.
• المشتقة الثانية $f”(x)$: لتحديد التقعر وطبيعة النقاط الحرجة.

هذا الشرح سيساعدك على فهم كيفية استخدام المشتقات في تحليل المنحنيات بشكل واضح ومبسط. إذا احتجت لأي توضيح إضافي، أنا متواجد للمساعدة!

سؤال وزاري

جد نقطة تنتمي الى الدائرة $x^2 + y^2 + 4x – 8y = 108$ والتي عندها يكون المعدل الزمني للتغير الإحداثي السيني مساويًا للمعدل الزمني للتغير الإحداثي الصادي بالنسبة للزمن.

لحل السؤال بشكل تفصيلي، نتبع الخطوات التالية:

الخطوة الأولى: كتابة معادلة الدائرة بصورة واضحة:

المعادلة الأصلية هي:

$$x^2 + y^2 + 4x – 8y = 108$$

نُكمل المربعات لتحويلها لصورة مركز الدائرة ونصف قطرها:

$$(x^2 + 4x) + (y^2 – 8y) = 108$$

نضيف مربعات نصف المعامل لكل قوس:

$$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 – 8y + 16) = 108 + 4 + 16$$

فتصبح:

$$(x + 2)^2 + (y – 4)^2 = 128$$

إذن مركز الدائرة هو $(-2, 4)$، ونصف القطر هو $\sqrt{128} = 8\sqrt{2}$.

الخطوة الثانية: إيجاد العلاقة بين معدل التغير الزمني للإحداثيين $x$ و $y$:

من معادلة الدائرة نشتق بالنسبة للزمن $t$:

$$2(x+2)\frac{dx}{dt} + 2(y-4)\frac{dy}{dt} = 0$$

بقسمة الطرفين على 2:

$$(x+2)\frac{dx}{dt} + (y-4)\frac{dy}{dt} = 0$$

المطلوب أن يكون المعدلان متساويين، أي أن:

$$\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt}$$

نعوض بهذا في المعادلة السابقة:

$$(x+2)\frac{dy}{dt} + (y-4)\frac{dy}{dt} = 0$$

نخرج العامل المشترك $\frac{dy}{dt}$، (بافتراض أن $\frac{dy}{dt}\neq0$):

$$(x+2)+(y-4) = 0$$

إذن العلاقة بين $x, y$:

$$x + y – 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 2 – x$$

الخطوة الثالثة: إيجاد نقطة التقاطع بين الدائرة والخط الناتج:

نعوض العلاقة $y = 2 – x$ في معادلة الدائرة الأصلية:

$$(x + 2)^2 + ( (2 – x) – 4 )^2 = 128$$

نبسط الطرف الثاني:

$$(x + 2)^2 + (- x – 2)^2 = 128$$

نبسط أكثر:

$$(x + 2)^2 + (x + 2)^2 = 128$$ $$2(x + 2)^2 = 128$$

نقسم على 2:

$$(x + 2)^2 = 64$$

وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين:

$$x + 2 = \pm 8$$

• الحل الأول:

$$x = 8 – 2 = 6 \quad , \quad y = 2 – x = 2 – 6 = -4$$

• الحل الثاني:

$$x = -8 – 2 = -10 \quad , \quad y = 2 – x = 2 – (-10) = 12$$

الحل النهائي (نقاط التقاطع):

النقاط التي عندها يتحقق الشرط هي:

$$(6,-4), \quad (-10,12)$$