محاضرة 13 / النوع الثالث / معادلة المنحني

للنقطة $M$ نقطة متحركة على منحنى القطع المكافئ $y^2 = 4x$، بحيث يكون معدل ابتعادها عن النقطة $(0,7)$ يساوي $0.2 \; unit/s$، أوجد المعدل الزمني لتغير الإحداثي السيني للنقطة $M$ عندما يكون $x = 4$.

لحل المسألة، نتبع الخطوات التالية خطوة بخطوة:

الخطوة 1: كتابة المعطيات بشكل واضح

• منحنى القطع المكافئ:

$$y^2 = 4x$$

• النقطة الثابتة هي:

$$(0,7)$$

• معدل ابتعاد النقطة $M(x,y)$ عن النقطة $(0,7)$ يساوي:

$$\frac{ds}{dt} = 0.2 \text{ units/sec}$$

• المطلوب إيجاد:

$$\frac{dx}{dt} \quad \text{عندما يكون } x=4$$

الخطوة 2: اشتقاق العلاقة بين النقطة M والنقطة الثابتة

المسافة بين نقطتين هي:

$$s = \sqrt{(x – 0)^2 + (y – 7)^2} = \sqrt{x^2 + (y – 7)^2}$$

نربّع الطرفين لتسهيل الاشتقاق:

$$s^2 = x^2 + (y – 7)^2$$

الخطوة 3: الاشتقاق بالنسبة للزمن $t$

نشتق الطرفين بالنسبة لـ $t$:

$$2s \frac{ds}{dt} = 2x\frac{dx}{dt} + 2(y-7)\frac{dy}{dt}$$

نقسم الطرفين على 2:

$$s \frac{ds}{dt} = x\frac{dx}{dt} + (y-7)\frac{dy}{dt}$$

الخطوة 4: إيجاد قيمة $y$ عندما $x=4$

من معادلة المنحنى $y^2 = 4x$، عند $x=4$:

$$y^2 = 4(4) \Rightarrow y^2 = 16 \Rightarrow y = \pm 4$$

سنأخذ في الاعتبار قيمتين محتملتين:

• الحالة الأولى: $y = 4$
• الحالة الثانية: $y = -4$

الخطوة 5: حساب $s$ عندما $x=4$

في كل حالة نحسب $s$:

• للحالة الأولى ($y=4$):

$$s = \sqrt{(4)^2+(4-7)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

• للحالة الثانية ($y=-4$):

$$s = \sqrt{(4)^2+(-4-7)^2} = \sqrt{16+121} = \sqrt{137}$$

الخطوة 6: إيجاد العلاقة بين $\frac{dy}{dt}$ و $\frac{dx}{dt}$

من $y^2=4x$، نشتق بالنسبة للزمن $t$:

$$2y\frac{dy}{dt}=4\frac{dx}{dt}\Rightarrow \frac{dy}{dt}=\frac{2}{y}\frac{dx}{dt}$$

الخطوة 7: التعويض لإيجاد $\frac{dx}{dt}$ عند $x=4$

نستخدم العلاقة:

$$s \frac{ds}{dt} = x\frac{dx}{dt} + (y-7)\frac{dy}{dt}$$

نعوض عن $\frac{dy}{dt}$:

تصبح العلاقة:

$$s \frac{ds}{dt} = x\frac{dx}{dt}+(y-7)\frac{2}{y}\frac{dx}{dt}$$

نأخذ $\frac{dx}{dt}$ عاملًا مشتركًا:

$$s \frac{ds}{dt}=\frac{dx}{dt}\left(x+\frac{2(y-7)}{y}\right)$$

وبالتالي:

$$\frac{dx}{dt}=\frac{s \frac{ds}{dt}}{\left(x+\frac{2(y-7)}{y}\right)}$$

نعوض الآن لكل حالة:

الحالة الأولى: $y=4, s=5, x=4$:

$$\frac{dx}{dt}=\frac{5 \times 0.2}{\left(4+\frac{2(4-7)}{4}\right)}=\frac{1}{4+\frac{2(-3)}{4}}=\frac{1}{4-\frac{6}{4}}=\frac{1}{\frac{16-6}{4}}=\frac{1}{\frac{10}{4}}=\frac{4}{10}=0.4$$

إذن، في الحالة الأولى:

$$\frac{dx}{dt}=0.4 \; units/sec$$

الحالة الثانية: $y=-4, s=\sqrt{137}, x=4$:

نعوض:

$$\frac{dx}{dt}=\frac{\sqrt{137}\times 0.2}{4+\frac{2(-4-7)}{-4}}=\frac{0.2\sqrt{137}}{4+\frac{2(-11)}{-4}}=\frac{0.2\sqrt{137}}{4+\frac{22}{4}}=\frac{0.2\sqrt{137}}{\frac{16+22}{4}}=\frac{0.2\sqrt{137}}{\frac{38}{4}}=\frac{0.2\sqrt{137}\times4}{38}=\frac{0.8\sqrt{137}}{38}$$

نختصر الكسر:

$$=\frac{0.8\sqrt{137}}{38}=\frac{4\sqrt{137}}{190}=\frac{2\sqrt{137}}{95}$$

إذن، في الحالة الثانية:

$$\frac{dx}{dt}=\frac{2\sqrt{137}}{95}\approx 0.247 \; units/sec$$

الإجابة النهائية:

• عندما $y=4$:

$$\frac{dx}{dt}=0.4\; units/sec$$

• عندما $y=-4$:

$$\frac{dx}{dt}\approx 0.247\; units/sec$$

سؤال وزاري

للنقطة $M$ نقطة متحركة على منحنى القطع المكافئ $y^2 = 4x$، بحيث يكون معدل ابتعادها عن النقطة $(0,7)$ يساوي $0.2 \; unit/s$، أوجد المعدل الزمني لتغير الإحداثي السيني للنقطة $M$ عندما يكون $x = 4$.

لحل المسألة، نتبع الخطوات التالية خطوة بخطوة:

الخطوة 1: كتابة المعطيات بشكل واضح

• منحنى القطع المكافئ:

$$y^2 = 4x$$

• النقطة الثابتة هي:

$$(0,7)$$

• معدل ابتعاد النقطة $M(x,y)$ عن النقطة $(0,7)$ يساوي:

$$\frac{ds}{dt} = 0.2 \text{ units/sec}$$

• المطلوب إيجاد:

$$\frac{dx}{dt} \quad \text{عندما يكون } x=4$$

الخطوة 2: اشتقاق العلاقة بين النقطة M والنقطة الثابتة

المسافة بين نقطتين هي:

$$s = \sqrt{(x – 0)^2 + (y – 7)^2} = \sqrt{x^2 + (y – 7)^2}$$

نربّع الطرفين لتسهيل الاشتقاق:

$$s^2 = x^2 + (y – 7)^2$$

الخطوة 3: الاشتقاق بالنسبة للزمن $t$

نشتق الطرفين بالنسبة لـ $t$:

$$2s \frac{ds}{dt} = 2x\frac{dx}{dt} + 2(y-7)\frac{dy}{dt}$$

نقسم الطرفين على 2:

$$s \frac{ds}{dt} = x\frac{dx}{dt} + (y-7)\frac{dy}{dt}$$

الخطوة 4: إيجاد قيمة $y$ عندما $x=4$

من معادلة المنحنى $y^2 = 4x$، عند $x=4$:

$$y^2 = 4(4) \Rightarrow y^2 = 16 \Rightarrow y = \pm 4$$

سنأخذ في الاعتبار قيمتين محتملتين:

• الحالة الأولى: $y = 4$
• الحالة الثانية: $y = -4$

الخطوة 5: حساب $s$ عندما $x=4$

في كل حالة نحسب $s$:

• للحالة الأولى ($y=4$):

$$s = \sqrt{(4)^2+(4-7)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

• للحالة الثانية ($y=-4$):

$$s = \sqrt{(4)^2+(-4-7)^2} = \sqrt{16+121} = \sqrt{137}$$

الخطوة 6: إيجاد العلاقة بين $\frac{dy}{dt}$ و $\frac{dx}{dt}$

من $y^2=4x$، نشتق بالنسبة للزمن $t$:

$$2y\frac{dy}{dt}=4\frac{dx}{dt}\Rightarrow \frac{dy}{dt}=\frac{2}{y}\frac{dx}{dt}$$

الخطوة 7: التعويض لإيجاد $\frac{dx}{dt}$ عند $x=4$

نستخدم العلاقة:

$$s \frac{ds}{dt} = x\frac{dx}{dt} + (y-7)\frac{dy}{dt}$$

نعوض عن $\frac{dy}{dt}$:

تصبح العلاقة:

$$s \frac{ds}{dt} = x\frac{dx}{dt}+(y-7)\frac{2}{y}\frac{dx}{dt}$$

نأخذ $\frac{dx}{dt}$ عاملًا مشتركًا:

$$s \frac{ds}{dt}=\frac{dx}{dt}\left(x+\frac{2(y-7)}{y}\right)$$

وبالتالي:

$$\frac{dx}{dt}=\frac{s \frac{ds}{dt}}{\left(x+\frac{2(y-7)}{y}\right)}$$

نعوض الآن لكل حالة:

الحالة الأولى: $y=4, s=5, x=4$:

$$\frac{dx}{dt}=\frac{5 \times 0.2}{\left(4+\frac{2(4-7)}{4}\right)}=\frac{1}{4+\frac{2(-3)}{4}}=\frac{1}{4-\frac{6}{4}}=\frac{1}{\frac{16-6}{4}}=\frac{1}{\frac{10}{4}}=\frac{4}{10}=0.4$$

إذن، في الحالة الأولى:

$$\frac{dx}{dt}=0.4 \; units/sec$$

الحالة الثانية: $y=-4, s=\sqrt{137}, x=4$:

نعوض:

$$\frac{dx}{dt}=\frac{\sqrt{137}\times 0.2}{4+\frac{2(-4-7)}{-4}}=\frac{0.2\sqrt{137}}{4+\frac{2(-11)}{-4}}=\frac{0.2\sqrt{137}}{4+\frac{22}{4}}=\frac{0.2\sqrt{137}}{\frac{16+22}{4}}=\frac{0.2\sqrt{137}}{\frac{38}{4}}=\frac{0.2\sqrt{137}\times4}{38}=\frac{0.8\sqrt{137}}{38}$$

نختصر الكسر:

$$=\frac{0.8\sqrt{137}}{38}=\frac{4\sqrt{137}}{190}=\frac{2\sqrt{137}}{95}$$

إذن، في الحالة الثانية:

$$\frac{dx}{dt}=\frac{2\sqrt{137}}{95}\approx 0.247 \; units/sec$$

الإجابة النهائية:

• عندما $y=4$:

$$\frac{dx}{dt}=0.4\; units/sec$$

• عندما $y=-4$:

$$\frac{dx}{dt}\approx 0.247\; units/sec$$