محاضرة 15 / النوع الرابع / التعامد

السؤال :

تحركت شاحنتان من مستودع، الشاحنة (A) بسرعة $40$ كم/ساعة شرقًا، والشاحنة (B) بسرعة $30$ كم/ساعة شمالًا. جد معدل تغير المسافة بين الشاحنتين عندما تكون الشاحنة A على بعد $4$ كم عن المستودع والشاحنة B على بعد $3$ كم عن المستودع.

لحل هذا السؤال، سنستخدم قانون المسافة بين نقطتين متحركتين مع قاعدة مشتقة فيثاغورس لإيجاد معدل تغير المسافة بين الشاحنتين.

1- تعريف المتغيرات

• لنفرض أن $x$ هو المسافة التي قطعتها الشاحنة A شرقًا.
• ولنفرض أن $y$ هو المسافة التي قطعتها الشاحنة B شمالًا.
• المسافة بين الشاحنتين $s$ تُحسب باستخدام نظرية فيثاغورس:

$$s^2 = x^2 + y^2$$

بما أن الشاحنة A تتحرك شرقًا بسرعة $dx/dt = 40$ كم/ساعة، والشاحنة B تتحرك شمالًا بسرعة $dy/dt = 30$ كم/ساعة.

عند اللحظة المطلوبة:

• $x = 4$ كم
• $y = 3$ كم

نحسب أولًا $s$:

$$s = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ كم}$$

2- إيجاد معدل تغير المسافة $ds/dt$

نأخذ المشتقة للطرفين:

$$2s \frac{ds}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt}$$

نقسم على 2:

$$s \frac{ds}{dt} = x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt}$$

بالتعويض بالقيم:

$$5 \frac{ds}{dt} = (4 \times 40) + (3 \times 30)$$ $$5 \frac{ds}{dt} = 160 + 90$$ $$5 \frac{ds}{dt} = 250$$ $$\frac{ds}{dt} = \frac{250}{5} = 50 \text{ كم/ساعة}$$

الإجابة النهائية

معدل تغير المسافة بين الشاحنتين عند تلك اللحظة هو 50 كم/ساعة.

السؤال :

“تحركت سيارتان من نقطة $M$ في نفس اللحظة، حيث كانت سرعة السيارة الأولى $80$ كم/س، وسرعة السيارة الثانية $60$ كم/س، وكل منهما يسير في اتجاه مختلف. احسب البعد بين السيارتين بعد مرور ربع ساعة من بدء الحركة.”

لحل هذه المسألة، نتبع الخطوات التالية:

المعطيات:

• سرعة السيارة الأولى = $80$ كم/س.
• سرعة السيارة الثانية = $60$ كم/س.
• الزمن = $\frac{1}{4}$ ساعة (ربع ساعة).
• السيارتان تتحركان في اتجاهين متعامدين (بما أن الطرق متعامدة عند النقطة $M$).

1. حساب المسافة المقطوعة لكل سيارة:

المسافة المقطوعة تُحسب باستخدام العلاقة:

$$\text{المسافة} = \text{السرعة} \times \text{الزمن}$$

• المسافة التي قطعتها السيارة الأولى:

$$S_1 = 80 \times \frac{1}{4} = 20 \text{ كم}$$

• المسافة التي قطعتها السيارة الثانية:

$$S_2 = 60 \times \frac{1}{4} = 15 \text{ كم}$$

2. حساب البعد بين السيارتين:

بما أن السيارتين تتحركان في اتجاهين متعامدين، فإن المسافة بينهما تشكل وترًا في مثلث قائم الزاوية، حيث تشكل المسافتان $S_1$ و$S_2$ ضلعين في مثلث قائم الزاوية.

نستخدم نظرية فيثاغورس لحساب البعد بين السيارتين $d$:

$$d^2 = S_1^2 + S_2^2$$ $$d^2 = (20)^2 + (15)^2$$ $$d^2 = 400 + 225$$ $$d^2 = 625$$ $$d = \sqrt{625} = 25 \text{ كم}$$

الإجابة النهائية:

البعد بين السيارتين بعد مرور ربع ساعة من بدء الحركة هو $25$ كم.

السؤال هو:

سيارة تسير بسرعة $30$ م/ث اجتازت إشارة ضوئية حمراء ارتفاعها عن سطح الأرض $3$ م، وبعد أن ابتعدت عنها مسافة $3\sqrt{3}$ م، امتدت السيارة. احسب معدل تغير المسافة بين السيارة والإشارة الضوئية.

لحل هذا السؤال، سنستخدم التفاضل لإيجاد معدل تغير المسافة بين السيارة والإشارة الضوئية.

الخطوات:

1- تعريف المتغيرات:

• لنفرض أن $x$ هو المسافة الأفقية بين السيارة والإشارة الضوئية، والتي تزداد مع الزمن.
• لنفرض أن $s$ هي المسافة بين السيارة والإشارة الضوئية.
• ارتفاع الإشارة الضوئية هو $h = 3$ م.
• بعد أن تتحرك السيارة مسافة $x = 3\sqrt{3}$ م، نريد حساب معدل تغير المسافة $\frac{ds}{dt}$.

2- استخدام نظرية فيثاغورس:

بما أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية، فإن العلاقة بين $x$ و $s$ و $h$ هي:

$$s^2 = x^2 + h^2$$ $$s^2 = x^2 + 3^2$$ $$s^2 = x^2 + 9$$

3- إيجاد المشتقة بالنسبة للزمن $t$:

نشتق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن $t$:

$$2s \frac{ds}{dt} = 2x \frac{dx}{dt}$$ $$s \frac{ds}{dt} = x \frac{dx}{dt}$$

4- إيجاد $s$ عند $x = 3\sqrt{3}$:

$$s = \sqrt{x^2 + 9}$$ $$s = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 9}$$ $$s = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6$$

5- حساب معدل التغير $\frac{ds}{dt}$:

• سرعة السيارة $\frac{dx}{dt} = 30$ م/ث.
• نعوض القيم في المعادلة:

$$6 \frac{ds}{dt} = (3\sqrt{3}) (30)$$ $$6 \frac{ds}{dt} = 90\sqrt{3}$$ $$\frac{ds}{dt} = \frac{90\sqrt{3}}{6}$$ $$\frac{ds}{dt} = 15\sqrt{3} \approx 25.98 \text{ م/ث}$$

الإجابة النهائية:

معدل تغير المسافة بين السيارة والإشارة الضوئية هو $15\sqrt{3}$ م/ث أو تقريبًا 25.98 م/ث.

السؤال :

وقف صقر على قمَّة شجرة ارتفاعها (30m). لاحظ على الأرض أرنب فرّار يتحرّك بسرعة (80m/s). جد معدّل تغيّر موقع الأرنب إذا كان بعده عن الشجرة (40m).

لحل هذا السؤال، نستخدم مفهوم معدل التغير المرتبط بالمثلثات وقوانين الاشتقاق في الرياضيات.

المعطيات:

• ارتفاع الشجرة: $h = 30m$
• سرعة الأرنب: $v_r = 80$ متر/ثانية
• بعد الأرنب عن قاعدة الشجرة عند لحظة معينة: $x = 40m$
• المطلوب: إيجاد معدل تغير المسافة بين الصقر والأرنب مع الزمن، أي $\frac{dS}{dt}$.

الخطوات:

1. إيجاد علاقة بين المتغيرات:

نشكّل مثلثًا قائم الزاوية حيث:

• الوتر $S$ هو المسافة بين الصقر والأرنب.
• أحد الأضلاع $x$ هو بعد الأرنب عن قاعدة الشجرة.
• الضلع العمودي $h = 30m$ هو ارتفاع الشجرة.

باستخدام نظرية فيثاغورس:

$$S^2 = x^2 + h^2$$

بالتعويض:

$$S^2 = x^2 + 30^2$$

2. اشتقاق المعادلة بالنسبة للزمن $t$:

نأخذ المشتقة للطرفين:

$$2S \frac{dS}{dt} = 2x \frac{dx}{dt}$$

بتبسيطها:

$$S \frac{dS}{dt} = x \frac{dx}{dt}$$

3. إيجاد قيمة $S$:

$$S = \sqrt{x^2 + 30^2}$$ $$S = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50m$$

4. حساب معدل التغير $\frac{dS}{dt}$:

بالتعويض:

$$50 \frac{dS}{dt} = 40 \times 80$$ $$50 \frac{dS}{dt} = 3200$$ $$\frac{dS}{dt} = \frac{3200}{50} = 64m/s$$

الإجابة النهائية:

معدل تغيّر المسافة بين الصقر والأرنب هو $64$ متر/ثانية.