نتيجة مبرهنة ديموافر / محاضرة 31

تقرير عن نتائج مبرهنة ديموافر في مختلف الحالات

مقدمة

تبرز مبرهنة ديموافر كإحدى الأدوات الأساسية في التعامل مع الأعداد المركبة، حيث تسهّل العمليات الحسابية المتعلقة برفع الأعداد المركبة للأسس، واستخراج الجذور، وحل المعادلات المركبة. في هذا التقرير، سنناقش نتائج المبرهنة في ثلاث حالات رئيسية:

1. رفع العدد المركب إلى قوة معينة.
2. إيجاد الجذور التربيعية أو التكعيبية.
3. حل المعادلات باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر.

الحالة الأولى: رفع العدد المركب إلى قوة معينة

عند رفع عدد مركب $z = r (\cos \theta + i \sin \theta)$ للقوة $n$، يمكن تطبيق مبرهنة ديموافر لحساب النتيجة بسهولة:

$$z^n = r^n (\cos (n\theta) + i \sin (n\theta))$$

الخطوات التفصيلية:

1. تحويل العدد المركب إلى الصورة القطبية:
   • يتم تحديد المقياس $r$ باستخدام العلاقة $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ حيث $x$ و$y$ هما الجزء الحقيقي والتخيلي.
   • يتم حساب الزاوية $\theta$ باستخدام $\theta = \tan^{-1}(y/x)$.
2. تطبيق مبرهنة ديموافر:
   • يتم رفع المقياس إلى القوة المطلوبة $r^n$.
   • يتم ضرب الزاوية في $n$ لإيجاد الزاوية الجديدة $n\theta$.
3. تحويل الناتج إلى الصورة الجبرية:
   • يتم حساب $\cos(n\theta)$ و$\sin(n\theta)$ للحصول على الناتج النهائي.

مثال:

إذا كان لدينا العدد المركب $z = 2 ( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} )$، ونريد حساب $z^3$، نطبق المبرهنة:

$$z^3 = 2^3 ( \cos \frac{3\pi}{6} + i \sin \frac{3\pi}{6} )$$ $$= 8 ( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} ) = 8i$$

النتيجة: تسهّل المبرهنة حساب القوى العالية للأعداد المركبة بطريقة مباشرة دون الحاجة إلى التوسيع والتوزيع التقليدي.

الحالة الثانية: إيجاد الجذور التربيعية أو التكعيبية لعدد مركب

لإيجاد الجذور التربيعية أو التكعيبية، نستخدم الصيغة العامة للجذور النونية للعدد المركب:

$$z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} \left( \cos \frac{\theta + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right), \quad k = 0,1,2, \dots, n-1$$

الخطوات التفصيلية:

1. تحويل العدد المركب إلى الصورة القطبية.
2. حساب الجذر النوني للمقياس $r$.
3. تقسيم الزاوية $\theta$ على $n$ للحصول على الزوايا المختلفة للجذور.
4. إيجاد جميع الجذور بإضافة $2k\pi/n$ لكل قيمة من $k$.

مثال: إيجاد الجذور التكعيبية للعدد 8

• العدد 8 يمكن كتابته على الصورة القطبية:

  $$8 = 8 (\cos 0 + i \sin 0)$$

• نستخدم الصيغة العامة للجذور التكعيبية ($n=3$):

  $$z_k = 8^{\frac{1}{3}} \left( \cos \frac{2k\pi}{3} + i \sin \frac{2k\pi}{3} \right), \quad k = 0,1,2$$حيث $8^{1/3} = 2$، فنحصل على الجذور الثلاثة:

  1. $z_0 = 2(\cos 0 + i \sin 0) = 2$
  2. $z_1 = 2(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3})$
  3. $z_2 = 2(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3})$

الحالة الثالثة: حل المعادلات باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر

الخطوات التفصيلية:

1. تحويل العدد الثابت إلى الصورة القطبية.
2. إيجاد الجذور باستخدام الصيغة العامة للجذور النونية.
3. تحديد جميع الحلول الممكنة وفقًا لقيم $k$.

مثال: حل المعادلة $z^4 = 16$

1. نكتب العدد 16 على الصورة القطبية:

   $$16 = 16 (\cos 0 + i \sin 0)$$

2. نبحث عن الجذور الرابعة ($n=4$):

   $$z_k = 16^{\frac{1}{4}} \left( \cos \frac{2k\pi}{4} + i \sin \frac{2k\pi}{4} \right), \quad k = 0,1,2,3$$

3. حيث $16^{1/4} = 2$، فنحصل على الحلول الأربعة:

   $$z_0 = 2(\cos 0 + i \sin 0) = 2$$ $$z_1 = 2(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) = 2i$$ $$z_2 = 2(\cos \pi + i \sin \pi) = -2$$ $$z_3 = 2(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}) = -2i$$

خاتمة

تبرهن مبرهنة ديموافر على أهميتها في التعامل مع الأعداد المركبة في حالات متعددة:

1. رفع الأعداد المركبة إلى قوة معينة بسهولة.
2. إيجاد الجذور النونية (مثل الجذور التربيعية والتكعيبية) دون اللجوء إلى الحسابات الجبرية المعقدة.
3. حل المعادلات المركبة وإيجاد جميع الحلول الممكنة.

تُعد هذه المبرهنة أداة فعالة في الرياضيات والهندسة، خاصة في تطبيقات مثل التحليل الكهربائي، فيزياء الموجات، والرسومات الحاسوبية.