الفصل الأول – المتجهات – الإحداثيات الكارتيزية والقطبية | الفيزياء للصف الخامس الإعدادي

في هذا الفصل سنتناول موضوع الإحداثيات وأنواعها، وهو من المواضيع الأساسية في فهم المتجهات. سنتعرف على نوعين رئيسيين من الإحداثيات: الكارتيزية والقطبية، وكيفية التحويل بينهما، بالإضافة إلى تطبيق قوانين المثلث القائم (ساين، كوساين، تان، فيثاغورس).

تعريف الإحداثيات

الإحداثيات هي:

“أنظمة تستعمل لتحديد موقع أي نقطة أو جسم سواء كان ساكنًا أو متحركًا في الفضاء أو على مستوى معين.”

تُستخدم هذه الأنظمة في العلوم والهندسة والملاحة لتحديد مواقع دقيقة.

أنواع الإحداثيات

تنقسم الإحداثيات إلى نوعين رئيسيين:

1. الإحداثيات الكارتيزية Cartesian Coordinates
2. الإحداثيات القطبية Polar Coordinates

أولاً: الإحداثيات الكارتيزية

تعريف:

“نظام يستخدم لتحديد موقع نقطة في مستوى معين باستخدام محورين متعامدين هما: المحور الأفقي (X) والمحور الشاقولي (Y)، ويتقاطعان في نقطة الأصل (0,0).”

مكونات النظام الكارتيزي:

• محور X: أفقي.
• محور Y: شاقولي.
• نقطة الأصل: (0,0) حيث يتقاطع المحوران.

مثال توضيحي:

إذا أعطيتك النقطة (4, 2)، فهذا يعني:

• 4 وحدات على محور X.
• 2 وحدات على محور Y. وهكذا يتم تحديد النقطة على المستوى.

ثانياً: الإحداثيات القطبية

تعريف:

“نظام يستخدم لتحديد موقع نقطة في مستوى معين باستخدام المسافة (r) من نقطة الأصل، والزاوية (θ أو فيتا) التي تصنعها مع محور X.”

مكونات النظام القطبي:

• r: البعد عن نقطة الأصل.
• θ (فيتا): الزاوية بين الخط المار من الأصل إلى النقطة ومحور X.

مثال:

لو أن النقطة تقع على بعد 5 وحدات من الأصل وتكوّن زاوية 30° مع محور X، فإن إحداثياتها القطبية هي:

(r = 5, θ = 30°)

التحويل بين الإحداثيات الكارتيزية والقطبية

من الكارتيزية إلى القطبية:

إذا كانت لديك إحداثيات (x, y)، يمكنك التحويل إلى (r, θ) باستخدام:

1. لحساب r (البعد):

r = √(x² + y²)

2. لحساب θ (الزاوية):

θ = tan⁻¹(y / x)

من القطبية إلى الكارتيزية:

إذا كانت لديك إحداثيات (r, θ)، يمكنك التحويل إلى (x, y) باستخدام:

1. x = r × cos(θ)
2. y = r × sin(θ)

قوانين مثلث قائم الزاوية (في التحويلات):

1. قانون ساين الزاوية:

sin(θ) = المقابل / الوتر → y / r

2. قانون كوساين الزاوية:

cos(θ) = المجاور / الوتر → x / r

3. قانون تان الزاوية:

tan(θ) = المقابل / المجاور → y / x

4. قانون فيثاغورس:

r² = x² + y² →
r = √(x² + y²)

تحديد الزاوية حسب ربع النقطة:

عند معرفة إشارة x و y يمكنك تحديد الربع الذي تقع فيه النقطة:

ملخص العلاقة بين الكارتيزية والقطبية:

أسئلة تدريبية:

س1: عرف الإحداثيات الكارتيزية؟

الجواب:
هي نظام يستخدم لتحديد موقع نقطة باستخدام محورين متعامدين (X أفقي، Y شاقولي).

س2: احسب r و θ للنقطة (3, 4).

الحل:

• r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
• θ = tan⁻¹(4/3) ≈ 53.13°

س3: نقطة قطبية (r = 6, θ = 60°)، احسب الإحداثيات الكارتيزية.

الحل:

• x = 6 × cos(60°) = 6 × 0.5 = 3
• y = 6 × sin(60°) = 6 × 0.866 = 5.196
  إذن: (x, y) = (3, 5.196)

ملاحظات مهمة:

• جميع الزوايا تقاس من محور X وتكون باتجاه عكس عقارب الساعة.
• الزاوية في الربع الأول تُستخدم كما هي.
• الزاوية في باقي الأرباع يتم تعديلها حسب الجدول أعلاه.

خاتمة:

هذا الدرس هو حجر الأساس لفهم المتجهات وتطبيقاتها في الفيزياء. فهم التحويل بين الأنظمة الإحداثية ضروري لحل مسائل الحركة، القوة، وغيرها. احرص على حفظ القوانين الأربعة بدقة وفهم الربط بينها.

هل تحب أن أضيف ملخص بصري أو مخطط للعلاقة بين الأنظمة لتسهيل الفهم؟