وزاريات تكوين المعادلة التربيعية اذا علم جذراها / محاضرة 24
إيجاد قيمتي و في المعادلة التربيعية
في هذا التقرير، سنقوم بحل معادلة تربيعية وإيجاد القيم المجهولة بناءً على معلومات معطاة حول جذورها. الجذور المعطاة للمعادلة تحتوي على عدد مركب، وسنستخدم خواص الجذور والتعامل مع الأعداد المركبة للوصول إلى القيم المطلوبة.
المعادلة المعطاة:
المعادلة التربيعية المعطاة على الصورة:
ومن المعطيات أن أحد الجذور هو العدد المركب:
وبما أن المعادلة تحتوي على معاملات حقيقية، فإن الجذر الآخر يجب أن يكون المرافق المركب:
الخطوات الحسابية:
- إيجاد مجموع الجذور: باستخدام مبرهنة فييت، فإن مجموع الجذور لمعادلة تربيعية من الشكل يعطى بالعلاقة:
بتطبيق هذه القاعدة على المعادلة المعطاة:
بتبسيط الطرف الأيسر:
وبالتالي:
- إيجاد حاصل ضرب الجذور: وفقًا لمبرهنة فييت، فإن حاصل ضرب الجذور يعطى بالعلاقة:
وبالتعويض:
نستخدم فرق المربعين:
وبالتالي:
بحل هذه المعادلة:
النتائج:
بناءً على الخطوات أعلاه، فإن القيم المطلوبة هي:
إيجاد قيمتي a و b في المعادلة التربيعية
في هذه المسألة، لدينا معادلة تربيعية من الشكل:
ومعلوم أن أحد جذري المعادلة هو العدد المركب . وبما أن المعادلة تحتوي على معاملات حقيقية، فإن الجذر الآخر يجب أن يكون مرافق الجذر المعطى، أي .
استخدام خواص الجذور: بما أن الجذرين و هما جذرا المعادلة التربيعية، يمكننا الاستفادة من علاقتي مجموع الجذور وحاصل ضرب الجذور:
- مجموع الجذور:
باستخدام العلاقة:
نعوض بالقيم:
بضرب الطرفين في 2:
- حاصل ضرب الجذور:
باستخدام العلاقة:
نحسب حاصل الضرب:
وبما أن ، فإن:
ومن العلاقة:
نضرب الطرفين في 2:
النتيجة النهائية: بالتالي، فإن قيمتي و المطلوب إيجادهما هما:
الخاتمة: باستخدام خواص الجذور لمعادلة تربيعية ذات معاملات حقيقية، تمكنا من إيجاد قيمتي و بدقة. هذا النهج يمكن تطبيقه على أي معادلة تربيعية ذات جذور معطاة، مما يساعد في فهم أعمق لخواص الأعداد المركبة وعلاقتها بالمعادلات التربيعية.