التكامل الغير محدد / محاضرة 4 – تكامل الدوال الكسرية

تكامل الدوال الكسرية يعتمد على عدة طرق، وأهمها التحليل، رفع المقام، وإكمال المربع. سأشرح كل طريقة مع أمثلة تطبيقية:

1. التحليل (Partial Fraction Decomposition)

إذا كان لدينا دالة كسرية على الصورة:

$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$

بحيث أن درجة البسط أقل من درجة المقام، يمكن تحليل المقام إلى عوامل أبسط ثم استخدام الكسور الجزئية.

مثال:

$$\int \frac{2x+3}{x^2 – x – 6} dx$$

الحل:

1. تحليل المقام:

   $$x^2 – x – 6 = (x-3)(x+2)$$

2. نكتب الكسر الجزئي:

   $$\frac{2x+3}{(x-3)(x+2)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+2}$$

3. نضرب في المقام المشترك:

   $$2x+3 = A(x+2) + B(x-3)$$

4. إيجاد $A, B$ بحل المعادلات، ثم إجراء التكامل لكل حد على حدة.

2. رفع المقام (رفع القوى السالبة – Power Reduction & Integration by Substitution)

أحيانًا يمكننا تبسيط الكسر بجعل المقام في صورة مرفوعة لأس سالب، ثم استخدام التكامل المباشر.

مثال:

$$\int \frac{dx}{(x+1)^3}$$

الحل:

نكتب الكسر على صورة:

$$\int (x+1)^{-3} dx$$

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

فيكون الحل:

$$\frac{(x+1)^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2(x+1)^2} + C$$

3. إكمال المربع (Completing the Square Integration)

عندما يكون لدينا مقام غير قابل للتحليل بسهولة أو يحتوي على تعبير تربيعي، يمكننا استخدام إكمال المربع لتسهيل التكامل.

مثال:

$$\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 5}$$

الحل:

1. إكمال المربع للمقام:

   $$x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1$$

2. نستخدم التعويض:

   $$u = x+2 \quad \Rightarrow \quad du = dx$$فيصبح التكامل:

   $$\int \frac{du}{u^2 + 1}$$

3. هذا تكامل معروف:

   $$\int \frac{du}{u^2 + 1} = \tan^{-1}(u) + C$$

4. نعيد التعويض:

   $$\tan^{-1}(x+2) + C$$

الخلاصة:

• التحليل: يستخدم عندما يكون المقام قابلًا للتحليل إلى عوامل خطية.
• رفع المقام: يستخدم عند إمكانية كتابة المقام بأسس سلبية.
• إكمال المربع: يستخدم عندما يحتوي المقام على كثير حدود من الدرجة الثانية لا يمكن تحليله بسهولة.

السؤال :

$$\int \frac{x^4 + x^2}{x^2} \, dx$$

وهو تكامل يتطلب تبسيط الكسر قبل إيجاد الحل.

لحل التكامل التالي:

$$\int \frac{x^4 + x^2}{x^2} \, dx$$

الخطوة 1: تبسيط الكسر

نقوم بتقسيم كل حد في البسط على المقام:

$$\frac{x^4 + x^2}{x^2} = \frac{x^4}{x^2} + \frac{x^2}{x^2}$$ $$= x^{4-2} + x^{2-2}$$ $$= x^2 + 1$$

الخطوة 2: تكامل كل حد على حدة

$$\int (x^2 + 1) \, dx$$

نحسب تكامل كل حد:

• تكامل $x^2$: باستخدام القاعدة $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$:

$$\int x^2 \, dx = \frac{x^{3}}{3}$$

• تكامل $1$: وهو مجرد $x$:

$$\int 1 \, dx = x$$

الخطوة 3: كتابة الحل النهائي

$$\frac{x^3}{3} + x + C$$

حيث $C$ هو ثابت التكامل.

الإجابة النهائية:

$$\frac{x^3}{3} + x + C$$

السؤال هو:

$$\int \frac{x^3 – 27}{3x – 9} \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \frac{x^3 – 27}{3x – 9} \, dx$$

الخطوة 1: تحليل البسط

نلاحظ أن البسط $x^3 – 27$ هو فرق بين مكعبين، ويمكن تحليله كما يلي:

$$x^3 – 27 = (x – 3)(x^2 + 3x + 9)$$

وبالتالي يصبح التكامل:

$$I = \int \frac{(x – 3)(x^2 + 3x + 9)}{3(x – 3)} \, dx$$

نستطيع تبسيط الكسر بإلغاء العامل المشترك $(x – 3)$:

$$I = \int \frac{x^2 + 3x + 9}{3} \, dx$$

الخطوة 2: فصل الكسر وإجراء التكامل

$$I = \frac{1}{3} \int (x^2 + 3x + 9) \, dx$$

نحسب تكامل كل حد على حدة:

$$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int 3x \, dx = \frac{3x^2}{2}, \quad \int 9 \, dx = 9x$$

إذن:

$$I = \frac{1}{3} \left( \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 9x \right) + C$$

الخطوة 3: تبسيط النتيجة

$$I = \frac{x^3}{9} + \frac{x^2}{2} + 3x + C$$

الإجابة النهائية

$$\int \frac{x^3 – 27}{3x – 9} \, dx = \frac{x^3}{9} + \frac{x^2}{2} + 3x + C$$

السؤال هو:

احسب التكامل التالي:

$$\int \frac{x^3 + 3x^2 – 2x}{5x} \,dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \frac{x^3 + 3x^2 – 2x}{5x} \,dx$$

الخطوة 1: تقسيم الكسر

نقوم بتقسيم كل حد من البسط على المقام:

$$I = \int \left( \frac{x^3}{5x} + \frac{3x^2}{5x} – \frac{2x}{5x} \right) dx$$

نبسط كل حد:

$$I = \int \left( \frac{x^2}{5} + \frac{3x}{5} – \frac{2}{5} \right) dx$$

الخطوة 2: حساب التكامل لكل حد

نحسب تكامل كل حد على حدة:

1. $\int \frac{x^2}{5} \,dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{15}$
2. $\int \frac{3x}{5} \,dx = \frac{3}{5} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3x^2}{10}$
3. $\int \frac{-2}{5} \,dx = \frac{-2}{5} x$

الخطوة 3: تجميع الحل

$$I = \frac{x^3}{15} + \frac{3x^2}{10} – \frac{2x}{5} + C$$

الإجابة النهائية:

$$\frac{x^3}{15} + \frac{3x^2}{10} – \frac{2x}{5} + C$$

السؤال المهم:

$$\int \frac{x – 5\sqrt{x} + 6}{x – 3\sqrt{x}} \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \frac{x – 5\sqrt{x} + 6}{x – 3\sqrt{x}} \, dx$$

الخطوة 1: تغيير المتغير

لجعل التكامل أبسط، نستخدم التغيير التالي:

$$t = \sqrt{x} \Rightarrow x = t^2 \Rightarrow dx = 2t \, dt$$

بالتعويض في البسط والمقام:

• البسط:

  $$x – 5\sqrt{x} + 6 = t^2 – 5t + 6$$يمكن تحليل هذا التعبير:

  $$t^2 – 5t + 6 = (t – 2)(t – 3)$$

• المقام:

  $$x – 3\sqrt{x} = t^2 – 3t$$بالتعويض في التكامل:

  $$I = \int \frac{(t – 2)(t – 3)}{t^2 – 3t} \cdot 2t \, dt$$

الخطوة 2: تبسيط الكسر

نكتب الكسر:

$$\frac{(t – 2)(t – 3)}{t^2 – 3t}$$

نلاحظ أن:

$$t^2 – 3t = t(t – 3)$$

إذن:

$$\frac{(t – 2)(t – 3)}{t(t – 3)} = \frac{t – 2}{t}$$

وبالتالي يصبح التكامل:

$$I = \int \left(\frac{t – 2}{t} \cdot 2t\right) dt$$ $$= \int 2(t – 2) \, dt$$ $$= \int 2t \, dt – \int 4 \, dt$$ $$= 2 \frac{t^2}{2} – 4t + C$$ $$= t^2 – 4t + C$$

الخطوة 3: إرجاع المتغير إلى $x$

بما أن $t = \sqrt{x}$، فإن:

$$I = x – 4\sqrt{x} + C$$

النتيجة النهائية:

$$\int \frac{x – 5\sqrt{x} + 6}{x – 3\sqrt{x}} \, dx = x – 4\sqrt{x} + C$$