التكامل المحدد / ايجاد المجهول / محاضرة 20

ايجاد القيم المجهولة في التكاملات

السؤال:

جد قيمة $a$ إذا علمت أن:

$$\int_{-1}^{a} (x – x^3) \, dx = -\frac{9}{4}$$

هذا السؤال يطلب إيجاد قيمة $a$ التي تحقق التكامل المحدد المعطى.

لحل المعادلة:

$$\int_{-1}^{a} (x – x^3) \, dx = -\frac{9}{4}$$

نتبع الخطوات التالية:

الخطوة 1: إيجاد التكامل غير المحدد

نحسب التكامل:

$$\int (x – x^3) \, dx$$

نُجزّئ التكامل:

$$\int x \, dx – \int x^3 \, dx$$

• تكامل $x$:

$$\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$$

• تكامل $x^3$:

$$\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}$$

إذن:

$$\int (x – x^3) \, dx = \frac{x^2}{2} – \frac{x^4}{4} + C$$

الخطوة 2: حساب التكامل المحدد من -1 إلى $a$

نطبق حدود التكامل:

$$\left[ \frac{x^2}{2} – \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^{a}$$

أي:

$$\left( \frac{a^2}{2} – \frac{a^4}{4} \right) – \left( \frac{(-1)^2}{2} – \frac{(-1)^4}{4} \right)$$

نبسط الحد عند $x = -1$:

$$\frac{1}{2} – \frac{1}{4} = \frac{2}{4} – \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$

إذن المعادلة تصبح:

$$\left( \frac{a^2}{2} – \frac{a^4}{4} \right) – \frac{1}{4} = -\frac{9}{4}$$

الخطوة 3: حل المعادلة

ننقل $-\frac{1}{4}$ للطرف الآخر:

$$\frac{a^2}{2} – \frac{a^4}{4} = -\frac{9}{4} + \frac{1}{4}$$ $$\frac{a^2}{2} – \frac{a^4}{4} = -\frac{8}{4} = -2$$

نضرب المعادلة في 4 للتخلص من المقامات:

$$2a^2 – a^4 = -8$$

ننقل كل الحدود إلى الطرف الأيمن:

$$a^4 – 2a^2 – 8 = 0$$

الخطوة 4: حل المعادلة من الدرجة الرابعة

نضع $y = a^2$، فتتحول المعادلة إلى:

$$y^2 – 2y – 8 = 0$$

نحلل المعادلة:

$$(y – 4)(y + 2) = 0$$

إذن:

$$y – 4 = 0 \quad \text{أو} \quad y + 2 = 0$$ $$y = 4 \quad \text{أو} \quad y = -2$$

لكن $y = a^2$ ويجب أن يكون عددًا غير سالب، فنأخذ:

$$a^2 = 4$$

إذن:

$$a = \pm 2$$

النتيجة النهائية:

$$a = 2 \quad \text{أو} \quad a = -2$$

السؤال:

جد قيمة $a$ إذا علمت أن:

$$\int_{a}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \, dx = 2$$

هذا السؤال يطلب إيجاد قيمة $a$ التي تحقق التكامل المحدد المعطى.

لحل المعادلة:

$$\int_{a}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \, dx = 2$$

نتبع الخطوات التالية:

الخطوة 1: حساب التكامل غير المحدد

لدينا التكامل:

$$I = \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \, dx$$

نستخدم التعويض:

$$u = x^2 + 9$$ $$du = 2x \, dx$$

إذن:

$$\frac{du}{2} = x \, dx$$

وبالتعويض في التكامل:

$$I = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2}$$ $$I = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} \, du$$ $$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}$$ $$I = \sqrt{u} = \sqrt{x^2 + 9}$$

إذن:

$$\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \, dx = \sqrt{x^2 + 9}$$

الخطوة 2: حساب التكامل المحدد

نحسب:

$$\left[ \sqrt{x^2 + 9} \right]_{a}^{4}$$

أي:

$$\sqrt{4^2 + 9} – \sqrt{a^2 + 9}$$ $$\sqrt{16 + 9} – \sqrt{a^2 + 9}$$ $$\sqrt{25} – \sqrt{a^2 + 9}$$ $$5 – \sqrt{a^2 + 9}$$

وبحسب المعطى:

$$5 – \sqrt{a^2 + 9} = 2$$

الخطوة 3: إيجاد قيمة $a$

ننقل الحد:

$$5 – 2 = \sqrt{a^2 + 9}$$ $$3 = \sqrt{a^2 + 9}$$

نربع الطرفين:

$$9 = a^2 + 9$$ $$a^2 = 0$$ $$a = 0$$

النتيجة النهائية:

$$a = 0$$

السؤال:

جد قيمة $b$ إذا علمت أن:

$$\int_{0}^{b} 3x \sqrt{x^2 + 16} \, dx = 61$$

هذا السؤال يطلب إيجاد قيمة $b$ التي تحقق التكامل المحدد المعطى.

لحل المعادلة:

$$\int_{0}^{b} 3x \sqrt{x^2 + 16} \, dx = 61$$

نتبع الخطوات التالية:

الخطوة 1: إيجاد التكامل غير المحدد

لدينا التكامل:

$$I = \int 3x \sqrt{x^2 + 16} \, dx$$

استخدام التعويض

نستخدم التعويض:

$$u = x^2 + 16$$ $$du = 2x \, dx$$

إذن:

$$\frac{du}{2} = x \, dx$$

وبالتعويض في التكامل:

$$I = \int 3 \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2}$$ $$I = \frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2}} \, du$$

نحسب التكامل:

$$I = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$$ $$I = u^{\frac{3}{2}}$$

بإرجاع $u = x^2 + 16$:

$$I = (x^2 + 16)^{\frac{3}{2}}$$

الخطوة 2: حساب التكامل المحدد

نطبق حدود التكامل:

$$\left[ (x^2 + 16)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{b}$$

أي:

$$(b^2 + 16)^{\frac{3}{2}} – (0^2 + 16)^{\frac{3}{2}}$$ $$(b^2 + 16)^{\frac{3}{2}} – 16^{\frac{3}{2}}$$

نحسب:

$$16^{\frac{3}{2}} = (16^1)^{\frac{3}{2}} = (4^2)^{\frac{3}{2}} = 4^3 = 64$$

إذن المعادلة تصبح:

$$(b^2 + 16)^{\frac{3}{2}} – 64 = 61$$

الخطوة 3: إيجاد قيمة $b$

ننقل 64 للطرف الآخر:

$$(b^2 + 16)^{\frac{3}{2}} = 125$$

نأخذ الجذر التكعيبي على الطرفين:

$$b^2 + 16 = 125^{\frac{2}{3}}$$

نحسب:

$$125^{\frac{2}{3}} = (5^3)^{\frac{2}{3}} = 5^2 = 25$$

إذن:

$$b^2 + 16 = 25$$ $$b^2 = 9$$ $$b = \pm 3$$

وبما أن التكامل محدد من $0$ إلى $b$، فإن $b$ يجب أن يكون موجبًا:

$$b = 3$$

النتيجة النهائية:

$$b = 3$$

السؤال:

جد قيمة $a$ إذا علمت أن:

$$\int_{1}^{a} \left(x + \frac{1}{2} \right) dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx$$

هذا السؤال يطلب إيجاد قيمة $a$ التي تحقق التكامل المحدد المعطى.

لحل المعادلة:

$$\int_{1}^{a} \left(x + \frac{1}{2} \right) dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx$$

نتبع الخطوات التالية:

الخطوة 1: حساب التكامل الأول

نحسب التكامل:

$$I_1 = \int \left(x + \frac{1}{2} \right) dx$$

نفصل التكامل:

$$I_1 = \int x \, dx + \int \frac{1}{2} \, dx$$

• تكامل $x$:

$$\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$$

• تكامل $\frac{1}{2}$:

$$\int \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} x$$

إذن:

$$\int \left(x + \frac{1}{2} \right) dx = \frac{x^2}{2} + \frac{x}{2}$$

نطبق حدود التكامل من $1$ إلى $a$:

$$\left[ \frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} \right]_{1}^{a}$$ $$\left( \frac{a^2}{2} + \frac{a}{2} \right) – \left( \frac{1^2}{2} + \frac{1}{2} \right)$$ $$\left( \frac{a^2}{2} + \frac{a}{2} \right) – \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right)$$ $$\left( \frac{a^2}{2} + \frac{a}{2} \right) – 1$$ $$\frac{a^2}{2} + \frac{a}{2} – 1$$

الخطوة 2: حساب التكامل الثاني

نحسب:

$$I_2 = \int \sec^2 x \, dx$$

نعلم أن:

$$\int \sec^2 x \, dx = \tan x$$

نطبق حدود التكامل من $0$ إلى $\frac{\pi}{4}$:

$$\left[ \tan x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$$ $$\tan \frac{\pi}{4} – \tan 0$$ $$1 – 0 = 1$$

وبما أن التكامل الثاني مضروب في 2، نحصل على:

$$2 \times 1 = 2$$

الخطوة 3: حل المعادلة

نساوي بين التكاملين:

$$\frac{a^2}{2} + \frac{a}{2} – 1 = 2$$

ننقل الحد الثابت للطرف الآخر:

$$\frac{a^2}{2} + \frac{a}{2} = 3$$

نضرب الطرفين في 2 للتخلص من المقامات:

$$a^2 + a = 6$$ $$a^2 + a – 6 = 0$$

نحلل المعادلة:

$$(a + 3)(a – 2) = 0$$

إذن:

$$a + 3 = 0 \quad \text{أو} \quad a – 2 = 0$$ $$a = -3 \quad \text{أو} \quad a = 2$$

النتيجة النهائية:

$$a = 2 \quad \text{أو} \quad a = -3$$