التكامل المحدد للدوال الجبرية أسئلة / محاضرة 9

أسئلة و حلول في التكام المحدد

السؤال هو:

$$\int_{0}^{1} \sqrt{x} \left( \sqrt{x} + 2 \right)^2 \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int_{0}^{1} \sqrt{x} \left( \sqrt{x} + 2 \right)^2 \, dx$$

الخطوة 1: فك المربع

نقوم بتوسيع المربع $\left( \sqrt{x} + 2 \right)^2$:

$$(\sqrt{x} + 2)^2 = x + 4\sqrt{x} + 4$$

بالتعويض في التكامل:

$$I = \int_{0}^{1} \sqrt{x} \left( x + 4\sqrt{x} + 4 \right) \, dx$$

الخطوة 2: توزيع الجذر

نوزع $\sqrt{x}$ على الحدود داخل القوس:

$$I = \int_{0}^{1} \left( x^{3/2} + 4x + 4x^{1/2} \right) \, dx$$

الخطوة 3: حساب التكامل لكل حد على حدة

نحسب التكامل لكل حد باستخدام قاعدة التكامل:

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$$

1. حساب $\int x^{3/2} dx$:

$$\int x^{3/2} dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5} x^{5/2}$$

2. حساب $\int 4x \, dx$:

$$\int 4x \, dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2$$

3. حساب $\int 4x^{1/2} \, dx$:

$$\int 4x^{1/2} dx = 4 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{8}{3} x^{3/2}$$

الخطوة 4: تطبيق حدود التكامل من 0 إلى 1

$$I = \left[ \frac{2}{5} x^{5/2} + 2x^2 + \frac{8}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1}$$

نحسب عند $x = 1$:

$$I = \frac{2}{5} (1)^{5/2} + 2(1)^2 + \frac{8}{3} (1)^{3/2}$$ $$= \frac{2}{5} + 2 + \frac{8}{3}$$

نحسب عند $x = 0$ (كل الحدود تصبح صفرًا):

$$I = 0$$

الخطوة 5: توحيد المقامات وحساب الناتج

نوحد المقامات للمصطلحات:

• المقام المشترك بين $5, 3$ هو $15$
• $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$
• $2 = \frac{30}{15}$
• $\frac{8}{3} = \frac{40}{15}$

$$I = \frac{6}{15} + \frac{30}{15} + \frac{40}{15}$$ $$I = \frac{76}{15}$$

النتيجة النهائية:

$$I = \frac{76}{15}$$

السؤال هو:

$$\int_{-2}^{2} (6x + 15) \sqrt{2x + 5} \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int_{-2}^{2} (6x + 15) \sqrt{2x + 5} \, dx$$

الخطوة 1: ملاحظة خاصية التكامل الزوجي والفردي

نلاحظ أن:

• الدالة داخل التكامل تتكون من جزأين: $6x \sqrt{2x+5}$ و $15 \sqrt{2x+5}$
• نحدد إذا كانت كل دالة زوجية أم فردية.

1. فحص الجزء الأول: $6x \sqrt{2x+5}$

نستبدل $x$ بـ $-x$:

$$f(-x) = 6(-x) \sqrt{2(-x) + 5} = -6x \sqrt{-2x + 5}$$

وبما أن $\sqrt{-2x + 5} \neq \sqrt{2x + 5}$ فهذا يدل على أن الدالة ليست متماثلة بوضوح. ولكن نظرًا لأن $6x$ نفسه دالة فردية، فإن حاصل ضربها في تعبير لا يغير الإشارة عند التبديل يجعلها دالة فردية.

وبما أن التكامل من $-a$ إلى $a$ لدالة فردية يكون صفرًا، فإن:

$$\int_{-2}^{2} 6x \sqrt{2x+5} \, dx = 0$$

2. فحص الجزء الثاني: $15 \sqrt{2x+5}$

نستبدل $x$ بـ $-x$:

$$g(-x) = 15 \sqrt{2(-x) + 5} = 15 \sqrt{-2x + 5}$$

وبما أن $\sqrt{-2x+5} = \sqrt{2x+5}$، فهذا يدل على أن هذه الدالة زوجية، أي أن:

$$\int_{-a}^{a} g(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} g(x) \, dx$$

إذًا التكامل الأصلي يتبسط إلى:

$$I = \int_{-2}^{2} (6x + 15) \sqrt{2x+5} \, dx = \int_{-2}^{2} 6x \sqrt{2x+5} \, dx + \int_{-2}^{2} 15 \sqrt{2x+5} \, dx$$

وبما أن الجزء الأول يساوي صفرًا، نحصل على:

$$I = \int_{-2}^{2} 15 \sqrt{2x+5} \, dx$$

وباستخدام خاصية التكامل الزوجي:

$$I = 2 \int_{0}^{2} 15 \sqrt{2x+5} \, dx$$

الخطوة 2: تعويض $u = 2x + 5$

نضع:

$$u = 2x + 5 \Rightarrow du = 2dx \Rightarrow dx = \frac{du}{2}$$

حدود التكامل:

• عندما $x = 0$ فإن $u = 5$
• عندما $x = 2$ فإن $u = 9$

إذًا التكامل يصبح:

$$I = 2 \int_{5}^{9} 15 \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2}$$

بتبسيط العامل $2$ في الخارج:

$$I = 2 \times \frac{1}{2} \int_{5}^{9} 15 \sqrt{u} \, du$$ $$I = \int_{5}^{9} 15 \sqrt{u} \, du$$

الخطوة 3: حساب التكامل

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$$

حيث $n = \frac{1}{2}$:

$$\int \sqrt{u} \, du = \int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2}$$

إذًا:

$$I = 15 \times \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_{5}^{9}$$ $$I = 10 u^{3/2} \Big|_{5}^{9}$$

الخطوة 4: تطبيق الحدود

نحسب عند $u = 9$ و $u = 5$:

$$I = 10 \left( 9^{3/2} – 5^{3/2} \right)$$

نحسب كل حد على حدة:

$$9^{3/2} = (9^1)^{3/2} = (3^2)^{3/2} = 3^3 = 27$$ $$5^{3/2} = (5^1)^{3/2} = 5^{1.5} = 5 \times \sqrt{5}$$

نقرب $\sqrt{5} \approx 2.236$:

$$5^{3/2} \approx 5 \times 2.236 = 11.18$$

إذًا:

$$I = 10 \times (27 – 11.18)$$ $$I = 10 \times 15.82$$ $$I = 158.2$$

النتيجة النهائية:

$$I \approx 158.2$$

السؤال هو:

$$\int_{0}^{\frac{1}{3}} x^4 \left( \frac{1}{x} + 3 \right)^4 \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int_{0}^{\frac{1}{3}} x^4 \left( \frac{1}{x} + 3 \right)^4 dx$$

الخطوة 1: تبسيط القوس

نقوم بتبسيط القوس داخل التكامل:

$$\frac{1}{x} + 3 = \frac{1 + 3x}{x}$$

وبالتعويض في التكامل:

$$I = \int_{0}^{\frac{1}{3}} x^4 \left( \frac{1 + 3x}{x} \right)^4 dx$$

الخطوة 2: توزيع الأس

نرفع كل حد داخل القوس للقوة $4$:

$$\left( \frac{1 + 3x}{x} \right)^4 = \frac{(1 + 3x)^4}{x^4}$$

وبالتعويض:

$$I = \int_{0}^{\frac{1}{3}} x^4 \cdot \frac{(1 + 3x)^4}{x^4} dx$$ $$I = \int_{0}^{\frac{1}{3}} (1 + 3x)^4 dx$$

الخطوة 3: التعويض $u = 1 + 3x$

نضع:

$$u = 1 + 3x$$ $$du = 3 dx \Rightarrow dx = \frac{du}{3}$$

تحويل حدود التكامل

• عندما $x = 0$, فإن $u = 1$.
• عندما $x = \frac{1}{3}$, فإن $u = 1 + 3 \times \frac{1}{3} = 2$.

إذن التكامل يصبح:

$$I = \int_{1}^{2} u^4 \cdot \frac{du}{3}$$ $$I = \frac{1}{3} \int_{1}^{2} u^4 du$$

الخطوة 4: حساب التكامل

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$$ $$I = \frac{1}{3} \times \frac{u^5}{5} \Big|_{1}^{2}$$ $$I = \frac{1}{3} \times \left( \frac{2^5}{5} – \frac{1^5}{5} \right)$$ $$I = \frac{1}{3} \times \left( \frac{32}{5} – \frac{1}{5} \right)$$ $$I = \frac{1}{3} \times \frac{31}{5}$$ $$I = \frac{31}{15}$$

النتيجة النهائية:

$$I = \frac{31}{15}$$

السؤال هو:

$$\int_{8}^{125} \frac{\sqrt[3]{x} – 1}{\sqrt[3]{x^2}} \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int_{8}^{125} \frac{\sqrt[3]{x} – 1}{\sqrt[3]{x^2}} \, dx$$

الخطوة 1: كتابة الجذور على صورة قوى

نستخدم الصيغة الأسية للجذور:

• الجذر التكعيبي: $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$
• الجذر التكعيبي للمربع: $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$

بالتالي، يصبح التكامل:

$$I = \int_{8}^{125} \frac{x^{1/3} – 1}{x^{2/3}} \, dx$$

الخطوة 2: تبسيط الكسر

نقوم بتوزيع المقام على كل حد في البسط:

$$\frac{x^{1/3}}{x^{2/3}} – \frac{1}{x^{2/3}}$$

وباستخدام قانون القسمة للأسس $x^a / x^b = x^{a-b}$:

$$x^{(1/3 – 2/3)} – x^{-2/3}$$ $$x^{-1/3} – x^{-2/3}$$

بالتالي، التكامل يصبح:

$$I = \int_{8}^{125} \left( x^{-1/3} – x^{-2/3} \right) dx$$

الخطوة 3: حساب التكامل لكل حد

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$$

تكامل $x^{-1/3}$:

$$\int x^{-1/3} dx = \frac{x^{2/3}}{2/3} = \frac{3}{2} x^{2/3}$$

تكامل $x^{-2/3}$:

$$\int x^{-2/3} dx = \frac{x^{1/3}}{1/3} = 3x^{1/3}$$

إذن:

$$I = \left[ \frac{3}{2} x^{2/3} – 3x^{1/3} \right]_{8}^{125}$$

الخطوة 4: تطبيق حدود التكامل

عند $x = 125$:

$$\frac{3}{2} (125^{2/3}) – 3(125^{1/3})$$

• حساب $125^{1/3}$:

  $$125^{1/3} = 5$$

• حساب $125^{2/3}$:

  $$(125^{1/3})^2 = 5^2 = 25$$

إذن:

$$\frac{3}{2} \times 25 – 3 \times 5 = \frac{75}{2} – 15 = \frac{75}{2} – \frac{30}{2} = \frac{45}{2}$$

عند $x = 8$:

$$\frac{3}{2} (8^{2/3}) – 3(8^{1/3})$$

• حساب $8^{1/3}$:

  $$8^{1/3} = 2$$

• حساب $8^{2/3}$:

  $$(8^{1/3})^2 = 2^2 = 4$$

إذن:

$$\frac{3}{2} \times 4 – 3 \times 2 = \frac{12}{2} – 6 = 6 – 6 = 0$$

الخطوة 5: حساب الفرق

$$I = \frac{45}{2} – 0 = \frac{45}{2}$$

النتيجة النهائية:

$$I = \frac{45}{2} = 22.5$$