التكامل غير المحدد / تمارين الكتاب / محاضرة 6

السؤال هو:

$$\int (3x^2 + 1)^2 \, dx$$

وهو تكامل دالة مرفوعة للأس، ويتطلب إما التوسيع ثم التكامل أو استخدام substitution (التغيير في المتغيرات).

لحل التكامل:

$$I = \int (3x^2 + 1)^2 \, dx$$

الطريقة الأولى: التوسيع ثم التكامل

نبدأ بتوسيع المقدار داخل القوس:

$$(3x^2 + 1)^2 = (3x^2 + 1)(3x^2 + 1)$$

باستخدام التوزيع:

$$(3x^2 + 1)(3x^2 + 1) = 9x^4 + 6x^2 + 1$$

إذن التكامل يصبح:

$$I = \int (9x^4 + 6x^2 + 1) \, dx$$

نقوم بتكامل كل حد على حدة:

$$\int 9x^4 \, dx = 9 \cdot \frac{x^5}{5} = \frac{9}{5} x^5$$ $$\int 6x^2 \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3$$ $$\int 1 \, dx = x$$

إذن الحل النهائي:

$$I = \frac{9}{5} x^5 + 2x^3 + x + C$$

حيث $C$ هو ثابت التكامل.

السؤال هو:

$$\int \frac{x}{(3x^2 + 5)^4} \, dx$$

وهو تكامل يتطلب استخدام التغيير في المتغيرات (substitution method).

لحل التكامل:

$$I = \int \frac{x}{(3x^2 + 5)^4} \, dx$$

الخطوة الأولى: تغيير المتغيرات (Substitution)

نضع:

$$u = 3x^2 + 5$$

ثم نشتق:

$$du = 6x \, dx$$

بترتيب المعادلة:

$$\frac{du}{6} = x \, dx$$

الخطوة الثانية: إعادة كتابة التكامل

بالتعويض في التكامل الأصلي:

$$I = \int \frac{x \, dx}{(3x^2 + 5)^4}$$

وباستخدام $du = 6x \, dx$، نحصل على:

$$I = \int \frac{\frac{du}{6}}{u^4}$$ $$= \frac{1}{6} \int u^{-4} \, du$$

الخطوة الثالثة: تكامل التعبير المبسط

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1}, \quad \text{لـ } n \neq -1$$

حيث $n = -4$:

$$I = \frac{1}{6} \cdot \frac{u^{-3}}{-3}$$ $$= -\frac{1}{18} u^{-3}$$ $$= -\frac{1}{18} \frac{1}{(3x^2 + 5)^3}$$

الخطوة الرابعة: الحل النهائي

$$I = -\frac{1}{18 (3x^2 + 5)^3} + C$$

حيث $C$ ثابت التكامل.

السؤال الوزاري هو:

$$\int \frac{(9x^2 – 3)^2 – 9}{x^2} \, dx$$

وهذا التكامل يحتاج إلى تبسيط البسط قبل إيجاد الحل النهائي.

شكرًا على التوضيح! لنقم بحل التكامل خطوة بخطوة.

الخطوة 1: تبسيط البسط

لدينا البسط:

$$(2x^2 – 3)^2 – 9$$

نستخدم المتطابقة:

$$(a^2 – b^2) = (a – b)(a + b)$$

حيث $a = 2x^2 – 3$ و $b = 3$، فنحصل على:

$$(2x^2 – 3 – 3)(2x^2 – 3 + 3)$$ $$= (2x^2 – 6)(2x^2)$$ $$= 2x^2(2x^2 – 6)$$

الخطوة 2: قسمة البسط على المقام

المقام هو $x^2$، إذًا:

$$\frac{2x^2(2x^2 – 6)}{x^2} = 2(2x^2 – 6)$$ $$= 4x^2 – 12$$

الخطوة 3: حساب التكامل

نحسب:

$$\int (4x^2 – 12) dx$$

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad \text{عندما } n \neq -1$$

فنحصل على:

$$\int 4x^2 dx – \int 12 dx$$ $$= 4 \cdot \frac{x^3}{3} – 12x + C$$ $$= \frac{4}{3} x^3 – 12x + C$$

الإجابة النهائية:

$$\frac{4}{3} x^3 – 12x + C$$

السؤال  هو:

$$\int \sqrt[3]{x^2 + 10x + 25} \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \sqrt[3]{x^2 + 10x + 25} \, dx$$

الخطوة 1: تبسيط الجذر التكعيبي

نلاحظ أن المقدار داخل الجذر التكعيبي يمكن كتابته على شكل مربع كامل:

$$x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$$

وبالتالي يصبح التكامل:

$$I = \int \sqrt[3]{(x+5)^2} \, dx$$

نكتب الجذر التكعيبي كقوة كسرية:

$$I = \int (x+5)^{\frac{2}{3}} \, dx$$

الخطوة 2: استخدام قاعدة التكامل

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad \text{عندما } n \neq -1$$

بأخذ $u = x + 5$، فإن $du = dx$، وبالتالي يصبح التكامل:

$$I = \int u^{\frac{2}{3}} \, du$$

نطبق قاعدة التكامل:

$$I = \frac{u^{\frac{2}{3} + 1}}{\frac{2}{3} + 1} + C$$ $$= \frac{u^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C$$ $$= \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$$

الخطوة 3: استرجاع المتغير الأصلي

بما أن $u = x + 5$، فإن:

$$I = \frac{3}{5} (x+5)^{\frac{5}{3}} + C$$

الإجابة النهائية

$$\frac{3}{5} (x+5)^{\frac{5}{3}} + C$$

السؤال المكتوب في الصورة هو:

$$\int \frac{(\sqrt{x} + 1)^4}{\sqrt{x}} \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \frac{(\sqrt{x} + 1)^4}{\sqrt{x}} \, dx$$

الخطوة 1: تغيير المتغير

نضع:

$$t = \sqrt{x} \Rightarrow x = t^2 \Rightarrow dx = 2t \, dt$$

وبما أن $\sqrt{x} = t$، يصبح التكامل:

$$I = \int \frac{(t + 1)^4}{t} \cdot 2t \, dt$$

الخطوة 2: تبسيط التعبير

نختصر $t$ في البسط والمقام:

$$I = \int 2 (t + 1)^4 \, dt$$

نوزع التكامل:

$$I = 2 \int (t + 1)^4 \, dt$$

نستخدم التغيير $u = t + 1$ وبالتالي $du = dt$:

$$I = 2 \int u^4 \, du$$

الخطوة 3: تطبيق قاعدة التكامل

نطبق القاعدة:

$$\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$$

وبما أن $n = 4$:

$$I = 2 \cdot \frac{u^5}{5} + C$$ $$I = \frac{2}{5} u^5 + C$$

الخطوة 4: إرجاع المتغير الأصلي

بما أن $u = t + 1 = \sqrt{x} + 1$، نحصل على:

$$I = \frac{2}{5} (\sqrt{x} + 1)^5 + C$$

الإجابة النهائية:

$$\frac{2}{5} (\sqrt{x} + 1)^5 + C$$

السؤال المهم (الشيخ)

نريد حساب التكامل التالي:

$$I = \int \frac{\sqrt{\sqrt[3]{x} + 1}}{\sqrt[3]{x^2}} \,dx$$

الخطوة الأولى: استخدام التعويض

نفرض:

$$t = \sqrt[3]{x}$$

وبالتالي:

$$x = t^3, \quad dx = 3t^2 dt.$$

نعيد كتابة الحدود بدلالة $t$:

$$\sqrt[3]{x^2} = \sqrt[3]{(t^3)^2} = \sqrt[3]{t^6} = t^2,$$ $$\sqrt{\sqrt[3]{x} + 1} = \sqrt{t + 1}.$$

وبذلك يصبح التكامل:

$$I = \int \frac{\sqrt{t+1}}{t^2} \cdot 3t^2 dt.$$

نختصر $t^2$ في البسط والمقام:

$$I = 3 \int \sqrt{t+1} \, dt.$$

الخطوة الثانية: تعويض جديد

نضع:

$$u = t + 1 \quad \Rightarrow \quad du = dt.$$

وبالتالي يصبح التكامل:

$$I = 3 \int \sqrt{u} \, du.$$

وباستخدام القاعدة القياسية:

$$\int u^{1/2} du = \frac{2}{3} u^{3/2},$$

نحصل على:

$$I = 3 \times \frac{2}{3} u^{3/2} = 2 u^{3/2}.$$

الخطوة الثالثة: إعادة التعويض $u = t + 1$ و $t = \sqrt[3]{x}$:

$$I = 2 ( \sqrt[3]{x} + 1 )^{3/2} + C.$$

النتيجة النهائية:

$$\int \frac{\sqrt{\sqrt[3]{x} + 1}}{\sqrt[3]{x^2}} \,dx = 2 ( \sqrt[3]{x} + 1 )^{3/2} + C.$$