التكامل غير المحدد للدوال المثلثية/ تمارين الكتاب / محاضرة 17

تمارين و اسئلة وزارية حول موضوع التكامل غير المحدد للدوال المثلثية

السؤال  هو:

$$\int \frac{\cos \sqrt{1 – x}}{\sqrt{1 – x}} \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \frac{\cos \sqrt{1 – x}}{\sqrt{1 – x}} \, dx$$

الخطوة 1: استخدام التعويض المناسب

نفرض:

$$t = \sqrt{1 – x}$$

وبالتالي بتربيع الطرفين:

$$t^2 = 1 – x$$

نشتق المعادلة بالنسبة لـ $x$:

$$2t \frac{dt}{dx} = -1$$

أي:

$$dx = -2t \, dt$$

الخطوة 2: إعادة كتابة التكامل

بما أن $\sqrt{1 – x} = t$، فإن التكامل يصبح:

$$I = \int \frac{\cos t}{t} \cdot (-2t \, dt)$$

نختصر $t$ من البسط والمقام:

$$I = -2 \int \cos t \, dt$$

الخطوة 3: حساب التكامل

نعلم أن:

$$\int \cos t \, dt = \sin t$$

وبالتالي:

$$I = -2 \sin t + C$$

الخطوة 4: إعادة $t$ إلى $x$

بما أن $t = \sqrt{1 – x}$، فإن:

$$I = -2 \sin \sqrt{1 – x} + C$$

النتيجة النهائية

$$\int \frac{\cos \sqrt{1 – x}}{\sqrt{1 – x}} \, dx = -2 \sin \sqrt{1 – x} + C$$

السؤال هو:

$$\int \tan^2 8x \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \tan^2 (8x) \, dx$$

الخطوة 1: استخدام الهوية المثلثية

نعلم أن:

$$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta – 1$$

باستبدال $\theta = 8x$، يصبح:

$$\tan^2 (8x) = \sec^2 (8x) – 1$$

وبالتالي يمكننا إعادة كتابة التكامل على النحو التالي:

$$I = \int (\sec^2 (8x) – 1) \, dx$$

الخطوة 2: حساب التكاملات

نعلم أن:

$$\int \sec^2 u \, du = \tan u$$

وأن:

$$\int 1 \, dx = x$$

إذن:

$$I = \int \sec^2 (8x) \, dx – \int 1 \, dx$$

نحسب كل تكامل على حدة:

1. تكامل $\sec^2 (8x)$
   باستخدام قاعدة التكامل:

   $$\int \sec^2 (ax) \, dx = \frac{1}{a} \tan (ax)$$إذن:

   $$\int \sec^2 (8x) \, dx = \frac{1}{8} \tan (8x)$$

2. تكامل $-1$:

   $$\int -1 \, dx = -x$$

الخطوة 3: كتابة الحل النهائي

$$I = \frac{1}{8} \tan (8x) – x + C$$

النتيجة النهائية

$$\int \tan^2 (8x) \, dx = \frac{1}{8} \tan (8x) – x + C$$

السؤال  هو:

$$\int \tan^4 x \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \tan^4 x \, dx$$

الخطوة 1: استخدام الهوية المثلثية لتبسيط التكامل

نعلم أن:

$$\tan^4 x = (\tan^2 x)^2$$

وباستخدام الهوية:

$$\tan^2 x = \sec^2 x – 1$$

نستبدل $\tan^2 x$:

$$\tan^4 x = (\sec^2 x – 1)^2$$

وبالتالي يمكننا إعادة كتابة التكامل:

$$I = \int (\sec^4 x – 2\sec^2 x + 1) \, dx$$

الخطوة 2: تفكيك التكامل

نقسم التكامل إلى ثلاثة أجزاء:

$$I = \int \sec^4 x \, dx – 2 \int \sec^2 x \, dx + \int 1 \, dx$$

الخطوة 3: حساب كل تكامل على حدة

1. تكامل $\int \sec^4 x \, dx$

نستخدم العلاقة:

$$\sec^4 x = \sec^2 x + \tan^2 x \sec^2 x$$

إذن:

$$\int \sec^4 x \, dx = \int (\sec^2 x + \tan^2 x \sec^2 x) \, dx$$

نحسب كل جزء على حدة:

$$\int \sec^2 x \, dx = \tan x$$

وباستخدام التعويض $u = \tan x \Rightarrow du = \sec^2 x \, dx$، نحصل على:

$$\int \tan^2 x \sec^2 x \, dx = \int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} = \frac{\tan^3 x}{3}$$

إذن:

$$\int \sec^4 x \, dx = \tan x + \frac{\tan^3 x}{3}$$

2. تكامل $-2 \int \sec^2 x \, dx$

نعلم أن:

$$\int \sec^2 x \, dx = \tan x$$

إذن:

$$-2 \int \sec^2 x \, dx = -2 \tan x$$

3. تكامل $\int 1 \, dx$

$$\int 1 \, dx = x$$

الخطوة 4: تجميع النتائج

$$I = \tan x + \frac{\tan^3 x}{3} – 2\tan x + x + C$$

بتبسيط الحدود:

$$I = -\tan x + \frac{\tan^3 x}{3} + x + C$$

النتيجة النهائية

$$\int \tan^4 x \, dx = x – \tan x + \frac{\tan^3 x}{3} + C$$

السؤال هو:

$$\int \frac{\cos^3 x}{1 – \sin x} \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \frac{\cos^3 x}{1 – \sin x} \, dx$$

الخطوة 1: إعادة كتابة البسط

نعلم أن:

$$\cos^3 x = \cos x \cdot \cos^2 x$$

وباستخدام الهوية المثلثية:

$$\cos^2 x = 1 – \sin^2 x$$

ولكن هنا، الطريقة الأكثر ملاءمة هي استخدام:

$$\cos^2 x = 1 – \sin x^2$$

لذا نكتب:

$$\cos^2 x = (1 – \sin x)(1 + \sin x)$$

الخطوة 2: إعادة كتابة التكامل

بالتعويض في التكامل:

$$I = \int \frac{\cos x (1 – \sin x)(1 + \sin x)}{1 – \sin x} \, dx$$

نلغي العامل المشترك $(1 – \sin x)$ من البسط والمقام:

$$I = \int \cos x (1 + \sin x) \, dx$$

الخطوة 3: توزيع الضرب

نوزع $\cos x$:

$$I = \int (\cos x + \cos x \sin x) \, dx$$

نقسم التكامل إلى جزئين:

$$I = \int \cos x \, dx + \int \cos x \sin x \, dx$$

الخطوة 4: حساب التكاملات

1. تكامل $\int \cos x \, dx$:

$$\int \cos x \, dx = \sin x$$

2. تكامل $\int \cos x \sin x \, dx$:

   نستخدم الهوية:

   $$\cos x \sin x = \frac{1}{2} \sin 2x$$فيصبح التكامل:

   $$\int \cos x \sin x \, dx = \frac{1}{2} \int \sin 2x \, dx$$ونعلم أن:

   $$\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x$$إذن:

   $$\int \cos x \sin x \, dx = -\frac{1}{4} \cos 2x$$

الخطوة 5: تجميع النتيجة النهائية

$$I = \sin x – \frac{1}{4} \cos 2x + C$$

النتيجة النهائية:

$$\int \frac{\cos^3 x}{1 – \sin x} \, dx = \sin x – \frac{1}{4} \cos 2x + C$$