اسئلة و ملاحظات خارجية في موضوع التكامل غير المحدد

السؤال هو:

$$\int \sqrt{2x + 3} \cdot (4x + 6) \,dx$$

نريد إيجاد قيمة التكامل:

$$I = \int \sqrt{2x + 3} \cdot (4x + 6) \,dx$$

الخطوة الأولى: استخدام التعويض

نضع:

$$t = 2x + 3$$

ثم نشتق الطرفين بالنسبة لـ $x$:

$$dt = 2dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{dt}{2}.$$

أيضًا، نعيد كتابة $4x + 6$ بدلالة $t$:

$$4x + 6 = 2(2x + 3) = 2t.$$

الخطوة الثانية: إعادة كتابة التكامل

بالتعويض في التكامل الأصلي:

$$I = \int \sqrt{t} \cdot 2t \cdot \frac{dt}{2}.$$

نختصر $2$ في البسط والمقام:

$$I = \int t^{3/2} \, dt.$$

الخطوة الثالثة: حساب التكامل

نستخدم القاعدة القياسية:

$$\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}.$$

وبالتطبيق على $t^{3/2}$:

$$I = \frac{t^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5} t^{5/2}.$$

الخطوة الرابعة: إعادة التعويض

نعيد $t$ إلى متغيره الأصلي:

$$t = 2x + 3.$$

فيكون الحل النهائي:

$$I = \frac{2}{5} (2x + 3)^{5/2} + C.$$

السؤال الموجود في الصورة هو:

$$\int \frac{3x – 6}{\sqrt[3]{x – 2}} \, dx$$

نريد حساب التكامل:

$$I = \int \frac{3x – 6}{\sqrt[3]{x – 2}} \, dx$$

الخطوة الأولى: استخدام التعويض

نضع:

$$t = x – 2$$

ثم نشتق:

$$dt = dx.$$

وبذلك يصبح لدينا:

$$x = t + 2 \quad \Rightarrow \quad 3x – 6 = 3(t + 2) – 6 = 3t.$$

وأيضًا:

$$\sqrt[3]{x – 2} = \sqrt[3]{t} = t^{1/3}.$$

الخطوة الثانية: إعادة كتابة التكامل

بتعويض القيم الجديدة في التكامل نحصل على:

$$I = \int \frac{3t}{t^{1/3}} \, dt.$$

نقسم القوى في المقام:

$$I = \int 3t^{1 – \frac{1}{3}} \, dt = \int 3t^{\frac{2}{3}} \, dt.$$

الخطوة الثالثة: حساب التكامل

نستخدم القاعدة القياسية:

$$\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}.$$

حيث $n = \frac{2}{3}$، فنحصل على:

$$I = 3 \times \frac{t^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}.$$ $$I = 3 \times \frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}.$$ $$I = \frac{9}{5} t^{\frac{5}{3}} + C.$$

الخطوة الرابعة: إعادة التعويض

نعيد $t = x – 2$:

$$I = \frac{9}{5} (x – 2)^{\frac{5}{3}} + C.$$

الإجابة النهائية:

$$\int \frac{3x – 6}{\sqrt[3]{x – 2}} \, dx = \frac{9}{5} (x – 2)^{\frac{5}{3}} + C.$$

السؤال الموجود في الصورة هو:

$$\int \frac{x – 3}{(2x – 6)^3} \, dx$$

نريد حساب التكامل:

$$I = \int \frac{x – 3}{(2x – 6)^3} \, dx$$

الخطوة الأولى: استخدام التعويض

نلاحظ أن:

$$x – 3 = \frac{2x – 6}{2}.$$

لذا نضع:

$$t = 2x – 6$$

ثم نشتق:

$$dt = 2dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{dt}{2}.$$

وبما أن $x – 3 = \frac{t}{2}$، فإن التكامل يصبح:

$$I = \int \frac{\frac{t}{2}}{t^3} \cdot \frac{dt}{2}.$$

الخطوة الثانية: تبسيط التكامل

نبسط الكسر:

$$I = \int \frac{t}{2} \cdot \frac{1}{t^3} \cdot \frac{dt}{2}.$$ $$I = \int \frac{t}{2t^3} \cdot \frac{dt}{2}.$$ $$I = \int \frac{1}{4} t^{-2} \, dt.$$

الخطوة الثالثة: حساب التكامل

نستخدم القاعدة القياسية:

$$\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}, \quad \text{لـ } n \neq -1.$$

حيث $n = -2$، نحصل على:

$$I = \frac{1}{4} \cdot \frac{t^{-1}}{-1}.$$ $$I = -\frac{1}{4} t^{-1}.$$ $$I = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{t}.$$

وبإعادة $t = 2x – 6$:

$$I = -\frac{1}{4(2x – 6)} + C.$$

النتيجة النهائية:

$$\int \frac{x – 3}{(2x – 6)^3} \, dx = -\frac{1}{4(2x – 6)} + C.$$

$$\int \sqrt{2x + 3} \cdot (4x + 6) \,dx$$