الصيغة القطبية / محاضرة 26

الصيغة القطبية للعدد المركب

1. مقدمة

تُعد الصيغة القطبية للعدد المركب طريقة أخرى لتمثيله باستخدام مقداره (المقياس) وزاويته (الاتجاه) بدلاً من التمثيل الديكارتي $z = a + bi$. تُستخدم هذه الصيغة في العديد من التطبيقات الرياضية والهندسية، خاصة في تحليل الإشارات والتيارات الكهربائية.

2. تعريف الصيغة القطبية

يُكتب العدد المركب $z = a + bi$ في الصيغة القطبية على الشكل:

$$z = r (\cos\theta + i \sin\theta)$$

حيث:

• $r = |z|$ هو المقياس (أو المقدار)، وهو المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة $(a, b)$ ويحسب بالعلاقة: $$r = \sqrt{a^2 + b^2}$$
• $\theta$ هو زاوية الاتجاه، وهي الزاوية التي يصنعها المتجه مع المحور الحقيقي الموجب، وتحسب بالعلاقة: $$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$$

كما يمكن تمثيل العدد المركب باستخدام الصيغة الأسية لأويلر:

$$z = r e^{i\theta}$$

حيث:

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta$$

3. أمثلة على تحويل الأعداد المركبة إلى الصيغة القطبية

المثال 1: العدد المركب $z = 3 + 4i$

• حساب المقياس: $$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
• حساب الزاوية: $$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) \approx 53.13^\circ$$
• الصيغة القطبية: $$z = 5 (\cos 53.13^\circ + i \sin 53.13^\circ)$$
• الصيغة الأسية: $$z = 5 e^{i 53.13^\circ}$$

المثال 2: العدد المركب $z = -2 – 2i$

• حساب المقياس: $$r = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2.83$$
• حساب الزاوية: $$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{-2}{-2} \right) = \tan^{-1}(1) = 45^\circ$$ بما أن العدد في الربع الثالث، فإن الزاوية الفعلية هي: $$\theta = 180^\circ + 45^\circ = 225^\circ$$
• الصيغة القطبية: $$z = 2.83 (\cos 225^\circ + i \sin 225^\circ)$$
• الصيغة الأسية: $$z = 2.83 e^{i 225^\circ}$$

المثال 3: العدد المركب $z = 1 – i$

• حساب المقياس: $$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1.41$$
• حساب الزاوية: $$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{-1}{1} \right) = -45^\circ$$ وبما أن العدد في الربع الرابع، فإن الزاوية الفعلية هي: $$\theta = 360^\circ – 45^\circ = 315^\circ$$
• الصيغة القطبية: $$z = 1.41 (\cos 315^\circ + i \sin 315^\circ)$$
• الصيغة الأسية: $$z = 1.41 e^{i 315^\circ}$$

4. تحويل الصيغة القطبية إلى الصيغة الجبرية

لتحويل عدد مركب من الصيغة القطبية إلى الشكل الجبري $a + bi$، نستخدم:

$$a = r \cos\theta, \quad b = r \sin\theta$$

على سبيل المثال، إذا كان:

$$z = 5 (\cos 53.13^\circ + i \sin 53.13^\circ)$$

فإن:

$$a = 5 \cos 53.13^\circ \approx 3, \quad b = 5 \sin 53.13^\circ \approx 4$$

وبالتالي:

$$z = 3 + 4i$$

5. أهمية الصيغة القطبية

• تُستخدم في الفيزياء والهندسة الكهربائية، خاصة في تحليل التيارات المتناوبة (AC).
• تسهل العمليات الحسابية مثل الضرب والقسمة للأعداد المركبة، حيث يتم ضرب المقياس وجمع الزوايا: $$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$$
• تسهل رفع الأعداد المركبة إلى القوى باستخدام مبرهنة دي موافر: $$z^n = r^n e^{i n\theta}$$

6. الخاتمة

يُعد التمثيل القطبي للأعداد المركبة أداة قوية تسهل العمليات الحسابية المعقدة، وتوفر تمثيلًا هندسيًا دقيقًا لها. يساعد هذا التمثيل في التطبيقات الهندسية والرياضية المتقدمة مثل تحليل الدوائر الكهربائية والإشارات والموجات.