الفصل الرابع / مراجعة التكامل للدالة الجبرية

مراجعة التكامل الدالة الجبرية , أسئلة و وزاريات مع الحلول للاسئلة و التمارين

السؤال 1 هو:

$$\int (2x+1)(x+1) \,dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int (2x+1)(x+1) \,dx$$

الخطوة 1: توزيع العوامل

نوزع الأقواس باستخدام خاصية التوزيع:

$$(2x+1)(x+1) = 2x \cdot x + 2x \cdot 1 + 1 \cdot x + 1 \cdot 1$$ $$= 2x^2 + 2x + x + 1$$ $$= 2x^2 + 3x + 1$$

الخطوة 2: حساب التكامل

الآن نكامل كل حد على حدة:

$$I = \int (2x^2 + 3x + 1) \,dx$$

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad \text{لـ } n \neq -1$$

• $\int 2x^2 \,dx = 2 \times \frac{x^{3}}{3} = \frac{2}{3} x^3$
• $\int 3x \,dx = 3 \times \frac{x^2}{2} = \frac{3}{2} x^2$
• $\int 1 \,dx = x$

الخطوة 3: كتابة الحل النهائي

$$I = \frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 + x + C$$

حيث $C$ هو ثابت التكامل.

السؤال

احسب التكامل التالي:

$$I = \int (x+1)(x-1)^2 \,dx$$

الحل

الخطوة 1: فك التربيع

نقوم أولًا بتوسيع الحد $(x-1)^2$:

$$(x-1)^2 = (x-1)(x-1)$$

وباستخدام خاصية التوزيع:

$$(x-1)(x-1) = x^2 – 2x + 1$$

إذن يصبح التكامل:

$$I = \int (x+1)(x^2 – 2x + 1) \,dx$$

الخطوة 2: توزيع الأقواس

نوزع $(x+1)$ على الحدود داخل القوس:

$$(x+1)(x^2 – 2x + 1) = x \cdot x^2 + x \cdot (-2x) + x \cdot 1 + 1 \cdot x^2 + 1 \cdot (-2x) + 1 \cdot 1$$ $$= x^3 – 2x^2 + x + x^2 – 2x + 1$$ $$= x^3 – x^2 – x + 1$$

الخطوة 3: تكامل الحدود

نحسب التكامل لكل حد على حدة:

$$I = \int (x^3 – x^2 – x + 1) \,dx$$

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad \text{لـ } n \neq -1$$

• $\int x^3 \,dx = \frac{x^4}{4}$
• $\int -x^2 \,dx = -\frac{x^3}{3}$
• $\int -x \,dx = -\frac{x^2}{2}$
• $\int 1 \,dx = x$

الخطوة 4: كتابة الحل النهائي

$$I = \frac{x^4}{4} – \frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} + x + C$$

حيث $C$ هو ثابت التكامل.

السؤال رقم 3

احسب التكامل التالي:

$$I = \int 2x (x+1)^2 \,dx$$

الحل

الخطوة 1: فك التربيع

نقوم أولًا بتوسيع الحد $(x+1)^2$:

$$(x+1)^2 = (x+1)(x+1)$$

وباستخدام خاصية التوزيع:

$$(x+1)(x+1) = x^2 + 2x + 1$$

إذن يصبح التكامل:

$$I = \int 2x (x^2 + 2x + 1) \,dx$$

الخطوة 2: توزيع $2x$ على الحدود داخل القوس

$$2x (x^2 + 2x + 1) = 2x^3 + 4x^2 + 2x$$

إذن التكامل يصبح:

$$I = \int (2x^3 + 4x^2 + 2x) \,dx$$

الخطوة 3: تكامل الحدود

نحسب التكامل لكل حد على حدة باستخدام القاعدة:

$$\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad \text{لـ } n \neq -1$$

• $\int 2x^3 \,dx = 2 \times \frac{x^4}{4} = \frac{2}{4} x^4 = \frac{x^4}{2}$
• $\int 4x^2 \,dx = 4 \times \frac{x^3}{3} = \frac{4}{3} x^3$
• $\int 2x \,dx = 2 \times \frac{x^2}{2} = x^2$

الخطوة 4: كتابة الحل النهائي

$$I = \frac{x^4}{2} + \frac{4}{3} x^3 + x^2 + C$$

حيث $C$ هو ثابت التكامل.

السؤال رقم 4

احسب التكامل التالي:

$$I = \int \sqrt{x} \, (\sqrt{x} + 3)^2 \,dx$$

الحل

الخطوة 1: فك التربيع

نقوم أولًا بتوسيع الحد $(\sqrt{x} + 3)^2$:

$$(\sqrt{x} + 3)^2 = (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} + 3)$$

وباستخدام خاصية التوزيع:

$$(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} + 3) = x + 6\sqrt{x} + 9$$

إذن التكامل يصبح:

$$I = \int \sqrt{x} (x + 6\sqrt{x} + 9) \,dx$$

الخطوة 2: توزيع $\sqrt{x}$ على الحدود داخل القوس

$$\sqrt{x} (x + 6\sqrt{x} + 9) = x^{\frac{3}{2}} + 6x + 9x^{\frac{1}{2}}$$

إذن التكامل يصبح:

$$I = \int \left( x^{\frac{3}{2}} + 6x + 9x^{\frac{1}{2}} \right) dx$$

الخطوة 3: تكامل الحدود

نحسب التكامل لكل حد على حدة باستخدام القاعدة:

$$\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad \text{لـ } n \neq -1$$

• $\int x^{\frac{3}{2}} \,dx = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$
• $\int 6x \,dx = 6 \times \frac{x^2}{2} = 3x^2$
• $\int 9x^{\frac{1}{2}} \,dx = 9 \times \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = 9 \times \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = 6x^{\frac{3}{2}}$

الخطوة 4: كتابة الحل النهائي

$$I = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 3x^2 + 6x^{\frac{3}{2}} + C$$

حيث $C$ هو ثابت التكامل.

السؤال رقم 5

احسب التكامل التالي:

$$I = \int \frac{x^2 – 1}{x + 1} \,dx$$

الحل

الخطوة 1: تبسيط الكسر

نلاحظ أن البسط $x^2 – 1$ يمكن تفكيكه باستخدام الفرق بين مربعين:

$$x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)$$

إذن يمكن إعادة كتابة التكامل على الشكل:

$$I = \int \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} \,dx$$

بما أن $x+1$ في البسط والمقام يمكن تبسيطه، نحصل على:

$$I = \int (x – 1) \,dx$$

الخطوة 2: حساب التكامل

نحسب التكامل لكل حد على حدة:

• $\int x \,dx = \frac{x^2}{2}$
• $\int (-1) \,dx = -x$

إذن:

$$I = \frac{x^2}{2} – x + C$$

حيث $C$ هو ثابت التكامل.

الإجابة النهائية:

$$I=\frac{x^2}{2}-x+C$$

السؤال رقم 6

احسب التكامل التالي:

$$I = \int \frac{x^3 – 27}{x – 3} \,dx$$

الحل

الخطوة 1: قسمة البسط على المقام

نلاحظ أن البسط $x^3 – 27$ هو فرق بين مكعبين:

$$x^3 – 27 = (x – 3)(x^2 + 3x + 9)$$

وبما أن المقام هو $x – 3$، يمكن تبسيط الكسر:

$$\frac{x^3 – 27}{x – 3} = x^2 + 3x + 9$$

إذن، يصبح التكامل:

$$I = \int (x^2 + 3x + 9) \,dx$$

الخطوة 2: حساب التكامل

نحسب تكامل كل حد على حدة باستخدام القاعدة:

$$\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad \text{لـ } n \neq -1$$

• $\int x^2 \,dx = \frac{x^3}{3}$
• $\int 3x \,dx = \frac{3x^2}{2}$
• $\int 9 \,dx = 9x$

الخطوة 3: كتابة الحل النهائي

$$I = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 9x + C$$

حيث $C$ هو ثابت التكامل.

الإجابة النهائية:

$$I=\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+9x+C$$

السؤال رقم 11

احسب التكامل التالي:

$$I = \int \frac{x}{(2x^2 + 3)^2} \,dx$$

الحل

الخطوة 1: اختيار substitution مناسب

نلاحظ أن المقام يحتوي على دالة من الشكل $2x^2 + 3$، وتوجد مشتقتها في البسط جزئيًا.
لذلك نستخدم التغيير:

$$u = 2x^2 + 3$$

ثم نشتق الطرفين بالنسبة لـ $x$:

$$\frac{du}{dx} = 4x$$

أي أن:

$$du = 4x \,dx$$

بما أن البسط يحتوي على $x \,dx$، نقسم المعادلة على 4:

$$\frac{du}{4} = x \,dx$$

الخطوة 2: إعادة كتابة التكامل بدلالة $u$

باستخدام التغيير $u = 2x^2 + 3$، يصبح التكامل:

$$I = \int \frac{\frac{du}{4}}{u^2}$$ $$= \frac{1}{4} \int u^{-2} \,du$$

الخطوة 3: حساب التكامل

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int u^n \,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}, \quad \text{لـ } n \neq -1$$

حيث $n = -2$:

$$\int u^{-2} \,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u}$$

إذن:

$$I = \frac{1}{4} \times \left(-\frac{1}{u}\right)$$ $$I = -\frac{1}{4u}$$

الخطوة 4: إعادة $u$ إلى $x$

بما أن $u = 2x^2 + 3$، فإن:

$$I = -\frac{1}{4(2x^2 + 3)}$$ $$I = -\frac{1}{4(2x^2 + 3)} + C$$

الإجابة النهائية:

$$I=-\frac{1}{4(2x^2+3)}+C$$

السؤال رقم 14

احسب التكامل التالي:

$$I = \int \frac{1}{9 – 12x + 4x^2} \,dx$$

الحل

الخطوة 1: إعادة ترتيب المقام

نرتب الحدود تنازليًا في المقام:

$$I = \int \frac{1}{4x^2 – 12x + 9} \,dx$$

نلاحظ أن المقام عبارة عن مربع كامل:

$$4x^2 – 12x + 9 = (2x – 3)^2$$

إذن التكامل يصبح:

$$I = \int \frac{1}{(2x – 3)^2} \,dx$$

الخطوة 2: استخدام التعويض

نضع:

$$u = 2x – 3$$

نشتق الطرفين:

$$\frac{du}{dx} = 2$$

أي أن:

$$du = 2dx$$

وبالتالي:

$$dx = \frac{du}{2}$$

الخطوة 3: إعادة كتابة التكامل

باستخدام التعويض $u = 2x – 3$:

$$I = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{du}{2}$$ $$= \frac{1}{2} \int u^{-2} \,du$$

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int u^n \,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}, \quad \text{لـ } n \neq -1$$

حيث $n = -2$:

$$\int u^{-2} \,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u}$$

إذن:

$$I = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{1}{u}\right)$$ $$I = -\frac{1}{2u}$$

الخطوة 4: إعادة $u$ إلى $x$

بما أن $u = 2x – 3$، فإن:

$$I = -\frac{1}{2(2x – 3)}$$ $$I = -\frac{1}{2(2x – 3)} + C$$

الإجابة النهائية:

$$I=-\frac{1}{2(2x-3)}+C$$

السؤال رقم 17

احسب التكامل التالي:

$$I = \int \sqrt[3]{3x^3 – 5x^5} \,dx$$

الحل

الخطوة 1: كتابة الجذر التكعيبي كقوة كسرية

نعلم أن:

$$\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$$

وبالتالي يمكننا إعادة كتابة التكامل على الشكل:

$$I = \int (3x^3 – 5x^5)^{\frac{1}{3}} \,dx$$

الخطوة 2: استخدام التغيير المناسب

نلاحظ أن داخل القوس يحتوي على حدود من $x^3$ و $x^5$، لذا نضع:

$$u = 3x^3 – 5x^5$$

ثم نشتق الطرفين:

$$\frac{du}{dx} = 9x^2 – 25x^4$$

نلاحظ أن الشكل داخل القوس لا يتناسب بسهولة مع المشتقة، لذلك لا يوجد تغيير مباشر بسيط.
بدلاً من ذلك، نقوم بتوزيع التكامل مباشرةً.

الخطوة 3: توزيع الأس على كل حد

$$I = \int 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{3}{3}} – 5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{5}{3}} \,dx$$ $$I = \int (3^{\frac{1}{3}} x^1 – 5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{5}{3}}) \,dx$$

الخطوة 4: حساب التكامل لكل حد على حدة

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad \text{لـ } n \neq -1$$

• $\int 3^{\frac{1}{3}} x \,dx = 3^{\frac{1}{3}} \frac{x^2}{2}$
• $\int -5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{5}{3}} \,dx = -5^{\frac{1}{3}} \frac{x^{\frac{8}{3}}}{\frac{8}{3}} = -5^{\frac{1}{3}} \times \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$

الخطوة 5: كتابة الحل النهائي

$$I = 3^{\frac{1}{3}} \frac{x^2}{2} – \frac{3}{8} 5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{8}{3}} + C$$

الإجابة النهائية:

$$I = \frac{3^{\frac{1}{3}} x^2}{2} – \frac{3}{8} 5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{8}{3}} + C$$

$$I = -\frac{1}{2(2x – 3)} + C$$

$$I = -\frac{1}{4(2x^2 + 3)} + C$$

$$I = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 9x + C$$

$$I = \frac{x^2}{2} – x + C$$