الفصل الرابع / مراجعة اسئلة التكامل للدوال المثلثية

مراجعة اسئلة و امثلة في اسئلة التكامل للدوال المثلثية

السؤال رقم 1

احسب التكامل التالي:

$$I = \int \cos 4x \,dx$$

الحل

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int \cos(ax) \,dx = \frac{\sin(ax)}{a} + C$$

حيث $a = 4$، وبالتالي:

$$I = \frac{\sin 4x}{4} + C$$

الإجابة النهائية:

$$I=\frac{\sin 4x}{4}+C$$

السؤال 2

احسب التكامل التالي:

$$I = \int \sin(2x + 4) \,dx$$

الحل

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int \sin(ax + b) \,dx = -\frac{\cos(ax + b)}{a} + C$$

حيث $a = 2$ و $b = 4$، وبالتالي:

$$I = -\frac{\cos(2x + 4)}{2} + C$$

الإجابة النهائية:

$$I=-\frac{\cos (2x+4)}{2}+C$$

السؤال رقم 3

احسب التكامل التالي:

$$I=\int x^2{\sin }^{3}xdx$$

$$لحل التكامل:$$

$$I = \int x^2 \sin^3 x \,dx$$

استخدام التكامل بالتجزئة

نستخدم قاعدة التجزئة:

$$\int u \, dv = u v – \int v \, du$$

اختيار $u$ و $dv$

• نختار $u = x^2$ ⟹ $du = 2x \,dx$
• ونختار $dv = \sin^3 x \,dx$

تكامل $dv$

نستخدم العلاقة:

$$\sin^3 x = \sin x (1 – \cos^2 x)$$ثم نستخدم التعويض $t = \cos x$ حيث $dt = -\sin x dx$، فنحصل على:

$$\int \sin^3 x \,dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3}$$

تطبيق قاعدة التجزئة

$$I = x^2 \left(-\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} \right) – \int \left(-\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} \right) (2x \,dx)$$هذا يؤدي إلى تكاملات أخرى تحتاج إلى تطبيق التجزئة مرة أخرى، ولكن يمكن اختصار النتيجة النهائية إلى:

$$I = -x^2 \cos x + \frac{x^2}{3} \cos^3 x + 2 \int x \cos x \,dx – \frac{2}{3} \int x \cos^3 x \,dx + C$$ويمكن حساب التكاملات المتبقية باستخدام التجزئة بنفس الطريقة.

السؤال 5

احسب التكامل التالي:

$$I = \int \sec^2 (4x) \,dx$$

الحل

نستخدم قاعدة التكامل الأساسية:

$$\int \sec^2(ax) \,dx = \frac{\tan(ax)}{a} + C$$

حيث $a = 4$، وبالتالي:

$$I = \frac{\tan(4x)}{4} + C$$

الإجابة النهائية:

$$I=\frac{\tan (4x)}{4}+C$$

السؤال: 9

احسب التكامل التالي:

$$I = \int \frac{2 \sin^3 \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^2}} \, dx$$

الحل:

الخطوة 1: إعادة كتابة التعبير باستخدام الأسس

نستخدم خواص الجذور:

• $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$
• $\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$

إعادة كتابة التكامل:

$$I = \int \frac{2 \sin^3 (x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}} \, dx$$

الخطوة 2: التغيير المتغير

نضع:

$$t = x^{\frac{1}{3}} \Rightarrow dt = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} dx$$

أي أن:

$$dx = 3x^{\frac{2}{3}} dt$$

بالتعويض في التكامل:

$$I = \int 2 \sin^3 t \cdot \frac{3x^{\frac{2}{3}} dt}{x^{\frac{2}{3}}}$$

يتم تبسيط التعبير:

$$I = \int 6 \sin^3 t \, dt$$

الخطوة 3: استخدام الهوية المثلثية

باستخدام الهوية:

$$\sin^3 t = \sin t (1 – \cos^2 t)$$

نحصل على:

$$I = \int 6 \sin t (1 – \cos^2 t) \, dt$$

نضع:

$$u = \cos t \Rightarrow du = -\sin t dt$$

فيصبح التكامل:

$$I = \int 6 (1 – u^2) (-du)$$ $$I = \int -6 (1 – u^2) \, du$$ $$I = \int (-6 + 6u^2) \, du$$

الخطوة 4: التكامل

$$I = -6u + 6 \frac{u^3}{3} + C$$ $$I = -6\cos t + 2\cos^3 t + C$$

الخطوة 5: إرجاع $t$ إلى $x$

بما أن:

$$t = x^{\frac{1}{3}}$$

فإن:

$$I = -6\cos (x^{\frac{1}{3}}) + 2\cos^3 (x^{\frac{1}{3}}) + C$$

الإجابة النهائية:

$$\int \frac{2{\sin }^3\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^2}}dx=-6\cos (x^{\frac{1}{3}})+2{\cos }^3(x^{\frac{1}{3}})+C$$

السؤال: رقم 14

احسب التكامل التالي:

$$I = \int \frac{\cos x}{\sqrt[3]{\sin x}} \, dx$$

الحل:

الخطوة 1: إعادة كتابة التعبير باستخدام الأسس

نعبر عن الجذر التكعيبي باستخدام الأسس الكسرية:

$$\sqrt[3]{\sin x} = (\sin x)^{\frac{1}{3}}$$

وبالتالي يصبح التكامل:

$$I = \int \frac{\cos x}{(\sin x)^{\frac{1}{3}}} \, dx$$

الخطوة 2: التغيير المتغير

نضع:

$$t = \sin x$$

وبالتالي:

$$dt = \cos x \, dx$$

بالتعويض في التكامل:

$$I = \int \frac{dt}{t^{\frac{1}{3}}}$$

الخطوة 3: حساب التكامل

نعيد كتابة الكسر باستخدام الأسس:

$$I = \int t^{-\frac{1}{3}} \, dt$$

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}, \quad \text{لـ } n \neq -1$$

حيث $n = -\frac{1}{3}$، فيكون:

$$I = \frac{t^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C$$ $$I = \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$$

الخطوة 4: إرجاع $t$ إلى $x$

بما أن:

$$t = \sin x$$

فإن:

$$I = \frac{3}{2} (\sin x)^{\frac{2}{3}} + C$$

الإجابة النهائية:

$$\int \frac{\cos x}{\sqrt[3]{\sin x}}dx=\frac{3}{2}(\sin x{)}^{\frac{2}{3}}+C$$

السؤال: رقم 17

احسب التكامل التالي:

$$I = \int (\tan x + \tan^3 x) \, dx$$

الحل:

الخطوة 1: تفكيك التكامل

نقسم التكامل إلى جزأين:

$$I = \int \tan x \, dx + \int \tan^3 x \, dx$$

الخطوة 2: حساب التكامل الأول

نعلم أن:

$$\int \tan x \, dx = \ln |\sec x| + C$$

الخطوة 3: حساب التكامل الثاني

نستخدم العلاقة:

$$\tan^3 x = \tan x \cdot \tan^2 x$$

وباستخدام الهوية:

$$\tan^2 x = \sec^2 x – 1$$

نكتب التكامل:

$$\int \tan^3 x \, dx = \int \tan x (\sec^2 x – 1) \, dx$$

نقسم التكامل إلى جزأين:

$$\int \tan x \sec^2 x \, dx – \int \tan x \, dx$$

نحسب التكامل الأول باستخدام التغيير المتغير: نضع:

$$t = \tan x \Rightarrow dt = \sec^2 x \, dx$$

فيصبح:

$$\int t \, dt = \frac{t^2}{2} = \frac{\tan^2 x}{2}$$

وبما أن:

$$\int \tan x \, dx = \ln |\sec x|$$

نحصل على:

$$\int \tan^3 x \, dx = \frac{\tan^2 x}{2} – \ln |\sec x|$$

الخطوة 4: جمع النتائج

$$I = \ln |\sec x| + \frac{\tan^2 x}{2} – \ln |\sec x| + C$$

نلاحظ أن $\ln |\sec x|$ يتكرر ويختصر:

$$I = \frac{\tan^2 x}{2} + C$$

الإجابة النهائية:

$$\int (\tan x+{\tan }^{3}x)dx=\frac{{\tan }^{2}x}{2}+C$$

هذا هو الرسم البياني للدالة $f(x) = \tan x + \tan^3 x$. كما هو متوقع، يحتوي على عدم تعريف عند القيم التي تجعل $\tan x$ غير معرف، أي عند $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ حيث $k$ عدد صحيح. يظهر الرسم السلوك التزايدي السريع للدالة مع اقتراب $x$ من هذه القيم.

$$$$\int (\tan x + \tan^3 x) \, dx = \frac{\tan^2 x}{2} + C

$$\int \frac{\cos x}{\sqrt[3]{\sin x}} \, dx = \frac{3}{2} (\sin x)^{\frac{2}{3}} + C$$

$$\int \frac{2 \sin^3 \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^2}} \, dx = -6\cos (x^{\frac{1}{3}}) + 2\cos^3 (x^{\frac{1}{3}}) + C$$

$$I = \frac{\tan(4x)}{4} + C$$

$$I = \int x^2 \sin^3 x \,dx$$

$$I = -\frac{\cos(2x + 4)}{2} + C$$

$$I = \frac{\sin 4x}{4} + C$$