الفصل الرابع / التكامل المحدد – المراجعة المركزة

أسئلة و تمارين و حلول للأسئلة حول موضوع التكامل المحدد و ايجاد المجهول و انواع الاسئلة

السؤال: رقم 44

$$I = \int \frac{\sqrt{\cot^2{2x}}}{1 – \cos^2{2x}} \, dx$$

الحل:

الخطوة 1: تبسيط المقام

نعلم أن:

$$1 – \cos^2{2x} = \sin^2{2x}$$

إذن يصبح التكامل:

$$I = \int \frac{\sqrt{\cot^2{2x}}}{\sin^2{2x}} \, dx$$

الخطوة 2: تبسيط البسط

بما أن:

$$\cot^2{2x} = \frac{\cos^2{2x}}{\sin^2{2x}}$$

فإن الجذر يعطي:

$$\sqrt{\cot^2{2x}} = \frac{\cos{2x}}{\sin{2x}}$$

الخطوة 3: إعادة كتابة التكامل

بالتعويض في التكامل نحصل على:

$$I = \int \frac{\frac{\cos{2x}}{\sin{2x}}}{\sin^2{2x}} \, dx$$ $$I = \int \frac{\cos{2x}}{\sin^3{2x}} \, dx$$

الخطوة 4: استخدام التعويض

نضع:

$$u = \sin{2x}, \quad \text{وبالتالي} \quad du = 2\cos{2x} \, dx$$

إذن:

$$dx = \frac{du}{2\cos{2x}}$$

بالتعويض نحصل على:

$$I = \int \frac{\cos{2x}}{u^3} \cdot \frac{du}{2\cos{2x}}$$ $$I = \frac{1}{2} \int u^{-3} \, du$$

الخطوة 5: حساب التكامل

باستخدام القاعدة:

$$\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1}, \quad \text{لـ } n \neq -1$$

نحصل على:

$$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-2}}{-2}$$ $$I = -\frac{1}{4} u^{-2}$$ $$I = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sin^2{2x}}$$ $$I = -\frac{1}{4} \csc^2{2x}$$

الإجابة النهائية:

$$\int \frac{\sqrt{{\cot }^{2}2x}}{1-{\cos }^{2}2x}dx=-\frac{1}{4}{\csc }^{2}2x+C$$

السؤال رقم 45:

$$I = \int \frac{\cos^3 x}{1 – \sin x} \, dx$$

الحل:

الخطوة 1: تغيير المتغير

نستخدم substitution مناسب لجعل التكامل أبسط، وهو:

$$t = 1 – \sin x$$

بالتالي:

$$dt = -\cos x \, dx$$

الخطوة 2: إعادة كتابة التكامل

نلاحظ أن:

$$\cos^3 x = \cos x \cdot \cos^2 x$$

وباستخدام العلاقة:

$$\cos^2 x = 1 – \sin^2 x = (1 – \sin x)(1 + \sin x)$$

نستبدل:

$$I = \int \frac{\cos x (1 – \sin x)(1 + \sin x)}{1 – \sin x} \, dx$$

وبما أن $1 – \sin x$ يتبسط، يصبح التكامل:

$$I = \int \cos x (1 + \sin x) \, dx$$

الخطوة 3: استبدال القيم

نستخدم $dt = -\cos x dx$، فنحصل على:

$$I = \int -(1 + (1 – t)) \, dt$$ $$I = \int -(1 + 1 – t) \, dt = \int -(2 – t) \, dt$$

الخطوة 4: التكامل

$$I = -\int 2 \, dt + \int t \, dt$$ $$I = -2t + \frac{t^2}{2} + C$$

الخطوة 5: إعادة المتغير إلى $x$

بما أن $t = 1 – \sin x$، نحصل على:

$$I = -2(1 – \sin x) + \frac{(1 – \sin x)^2}{2} + C$$

وهذا هو الحل النهائي.

السؤال: رقم 3

احسب التكامل المحدد:

$$I = \int_{1}^{2} \left( x^{-2} + 2x + 1 \right) dx$$

الحل:

الخطوة 1: إيجاد التكامل غير المحدد

نقوم بحساب التكامل لكل حد على حدة.

1. تكامل $x^{-2}$:

   $$\int x^{-2} dx = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}$$

2. تكامل $2x$:

   $$\int 2x dx = 2 \int x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$$

3. تكامل $1$:

   $$\int 1 dx = x$$

إذن التكامل غير المحدد:

$$I = -\frac{1}{x} + x^2 + x$$

الخطوة 2: تطبيق حدود التكامل من 1 إلى 2

نحسب:

$$I = \left[ -\frac{1}{x} + x^2 + x \right]_{1}^{2}$$

عند $x = 2$:

$$I(2) = -\frac{1}{2} + (2)^2 + 2 = -\frac{1}{2} + 4 + 2 = 5.5$$

عند $x = 1$:

$$I(1) = -\frac{1}{1} + (1)^2 + 1 = -1 + 1 + 1 = 1$$

الخطوة 3: حساب الفرق

$$I = 5.5 – 1 = 4.5$$

الإجابة النهائية:

$$I=\frac{9}{2}$$

السؤال: رقم 4 (من تمارين الكتاب)

احسب التكامل المحدد:

$$I = \int_{1}^{3} \frac{2x^3 – 4x^2 + 5}{x^2} \, dx$$

الحل:

الخطوة 1: تبسيط الكسر

نقوم بتوزيع القسمة على كل حد في البسط:

$$\frac{2x^3}{x^2} – \frac{4x^2}{x^2} + \frac{5}{x^2}$$ $$= 2x – 4 + 5x^{-2}$$

إذن التكامل يصبح:

$$I = \int_{1}^{3} (2x – 4 + 5x^{-2}) \, dx$$

الخطوة 2: حساب التكامل غير المحدد

نحسب تكامل كل حد على حدة:

1. تكامل $2x$:

   $$\int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$$

2. تكامل $-4$:

   $$\int -4 \, dx = -4x$$

3. تكامل $5x^{-2}$:

   $$\int 5x^{-2} \, dx = 5 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -5x^{-1} = -\frac{5}{x}$$

إذن التكامل غير المحدد:

$$I = x^2 – 4x – \frac{5}{x}$$

الخطوة 3: تطبيق حدود التكامل من 1 إلى 3

نحسب:

$$I = \left[ x^2 – 4x – \frac{5}{x} \right]_{1}^{3}$$

عند $x = 3$:

$$I(3) = (3)^2 – 4(3) – \frac{5}{3}$$ $$= 9 – 12 – \frac{5}{3}$$ $$= -3 – \frac{5}{3} = -\frac{9}{3} – \frac{5}{3} = -\frac{14}{3}$$

عند $x = 1$:

$$I(1) = (1)^2 – 4(1) – \frac{5}{1}$$ $$= 1 – 4 – 5 = -8$$

الخطوة 4: حساب الفرق

$$I = \left( -\frac{14}{3} \right) – (-8)$$ $$= -\frac{14}{3} + 8$$ $$= -\frac{14}{3} + \frac{24}{3} = \frac{10}{3}$$

الإجابة النهائية:

$$I = \frac{10}{3}$$

السؤال: رقم 5

احسب التكامل المحدد:

$$I = \int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \, dx$$

الحل:

الخطوة 1: تغيير المتغير

نستخدم substitution لجعل التكامل أبسط. نختار:

$$t = x^2 + 9$$

ثم نشتق:

$$\frac{dt}{dx} = 2x \quad \Rightarrow \quad dt = 2x dx$$

وبالتالي:

$$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{dt}{\sqrt{t}}$$

الخطوة 2: إعادة كتابة التكامل

بالتعويض، يصبح التكامل:

$$I = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t}}$$

نستخدم الصيغة العامة:

$$\int t^{-\frac{1}{2}} dt = 2t^{\frac{1}{2}}$$

وبالتالي:

$$I = \frac{1}{2} \times 2t^{\frac{1}{2}} = \sqrt{t}$$

الخطوة 3: تطبيق حدود التكامل

عندما $x = 0$:

$$t = 0^2 + 9 = 9$$

وعندما $x = 4$:

$$t = 4^2 + 9 = 25$$

إذن نحسب:

$$I = \left[ \sqrt{t} \right]_{9}^{25}$$ $$= \sqrt{25} – \sqrt{9} = 5 – 3 = 2$$

الإجابة النهائية:

$$I=2$$

السؤال: رقم 7

احسب التكامل المحدد:

$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$$

الحل:

الخطوة 1: إيجاد التكامل غير المحدد

نستخدم القاعدة المعروفة لتكامل الدالة $\cos x$:

$$\int \cos x \, dx = \sin x + C$$

إذن التكامل غير المحدد هو:

$$I = \sin x$$

الخطوة 2: تطبيق حدود التكامل

نطبق الحدود من $0$ إلى $\frac{\pi}{2}$:

$$I = \left[ \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$

نحسب القيم عند الحدود:

$$\sin \frac{\pi}{2} – \sin 0$$ $$= 1 – 0 = 1$$

الإجابة النهائية:

$$I = 1$$

$$I = 2$$

$$I = \frac{9}{2}$$

$$\int \frac{\sqrt{\cot^2{2x}}}{1 – \cos^2{2x}} \, dx = -\frac{1}{4} \csc^2{2x} + C$$