الفصل الرابع / مراجعة التكامل و ايجاد المجهول في الاسئلة

مراجعة الفصل الرابع في التكامل و ايجاد المجهول في الاسئلة و التمارين

السؤال: رقم 1 (وزاري)

أوجد قيمة $b$ حيث:

$$\int_{0}^{b} 3x \sqrt{x^2 + 16} \, dx = 61$$

الحل:

لحل التكامل:

$$I = \int 3x \sqrt{x^2 + 16} \, dx$$

نستخدم التعويض التالي:

$$u = x^2 + 16 \Rightarrow du = 2x dx$$

إذن:

$$\frac{du}{2} = x dx$$

بالتعويض في التكامل:

$$I = \int 3 \cdot \frac{du}{2} \cdot \sqrt{u}$$ $$= \frac{3}{2} \int \sqrt{u} \, du$$

نعرف أن:

$$\int u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$$

وبالتالي نحصل على:

$$I = \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$$ $$= u^{\frac{3}{2}} = (x^2 + 16)^{\frac{3}{2}}$$

إذن:

$$\int_{0}^{b} 3x \sqrt{x^2 + 16} \, dx = \left[ (x^2 + 16)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{b}$$ $$= (b^2 + 16)^{\frac{3}{2}} – (0^2 + 16)^{\frac{3}{2}}$$ $$= (b^2 + 16)^{\frac{3}{2}} – 16^{\frac{3}{2}}$$

وبما أن:

$$16^{\frac{3}{2}} = (4^2)^{\frac{3}{2}} = 4^3 = 64$$

فإن المعادلة تصبح:

$$(b^2 + 16)^{\frac{3}{2}} – 64 = 61$$ $$(b^2 + 16)^{\frac{3}{2}} = 125$$ $$b^2 + 16 = 125^{\frac{2}{3}}$$ $$b^2 + 16 = 125^{\frac{2}{3}} = (5^3)^{\frac{2}{3}} = 5^2 = 25$$ $$b^2 = 25 – 16$$ $$b^2 = 9$$ $$b = \pm 3$$

بما أن $b \in \mathbb{R}$، فإن القيم الممكنة لـ $b$ هي $b = 3$ أو $b = -3$.

هذا هو التمثيل البياني للتكامل المحدد $\int_{0}^{3} 3x \sqrt{x^2 + 16} \, dx$. المنطقة المظللة باللون الأزرق تمثل المساحة تحت المنحنى بين $x = 0$ و $x = 3$، والتي تساوي $61$. الخط الأحمر المتقطع عند $x = 3$ يشير إلى قيمة $b$ التي وجدناها.

السؤال: رقم 2

أوجد قيمتي $a$ و $b$ حيث:

$$\int_{a}^{b} (2x + 3) \, dx = 12$$

ومعطى أن:

$$a + 2b = 3$$

الحل:

1- حساب التكامل:

نحسب التكامل غير المحدد:

$$\int (2x + 3) \, dx = x^2 + 3x + C$$

إذن التكامل المحدد هو:

$$\int_{a}^{b} (2x + 3) \, dx = \left[ x^2 + 3x \right]_{a}^{b}$$ $$= (b^2 + 3b) – (a^2 + 3a)$$

وبالتعويض بالقيمة المعطاة:

$$(b^2 + 3b) – (a^2 + 3a) = 12$$

2- حل المعادلتين معًا:

لدينا المعادلتين:

1. $b^2 + 3b – a^2 – 3a = 12$
2. $a + 2b = 3$ ⬅️ نحلها لإيجاد $a$:

$$a = 3 – 2b$$

3- التعويض في معادلة التكامل:

نستبدل $a$ في المعادلة الأولى:

$$b^2 + 3b – ( (3 – 2b)^2 + 3(3 – 2b) ) = 12$$

نحسب $(3 – 2b)^2$:

$$(3 – 2b)^2 = 9 – 12b + 4b^2$$

ونحسب $3(3 – 2b)$:

$$9 – 6b$$

إذن تصبح المعادلة:

$$b^2 + 3b – (9 – 12b + 4b^2 + 9 – 6b) = 12$$ $$b^2 + 3b – (18 – 18b + 4b^2) = 12$$ $$b^2 + 3b – 18 + 18b – 4b^2 = 12$$ $$-3b^2 + 21b – 18 = 12$$ $$-3b^2 + 21b – 30 = 0$$

نقسم على -3:

$$b^2 – 7b + 10 = 0$$

4- حل المعادلة التربيعية:

نحلل المعادلة:

$$(b – 5)(b – 2) = 0$$

إذن:

$$b = 5 \quad \text{أو} \quad b = 2$$

5- إيجاد قيم $a$:

باستخدام $a = 3 – 2b$:

• عندما $b = 5$:

$$a = 3 – 2(5) = 3 – 10 = -7$$

• عندما $b = 2$:

$$a = 3 – 2(2) = 3 – 4 = -1$$

الإجابة النهائية:

الحلان الممكنان هما:

$a = -7$, $b = 5$

$a = -1$, $b=2$

السؤال: رقم3 (سؤال الكتاب)

أوجد قيمة $a$ حيث:

$$\int_{1}^{a} \left(x + \frac{1}{2}\right) dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx$$

مع العلم أن $a \in \mathbb{R}$.

الحل:

1- حساب التكامل الأول:

نحسب:

$$I_1 = \int (x + \frac{1}{2}) \, dx$$

نقوم بتجزئة التكامل:

$$I_1 = \int x \, dx + \int \frac{1}{2} \, dx$$ $$= \frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} + C$$

إذن التكامل المحدد:

$$\int_{1}^{a} \left(x + \frac{1}{2}\right) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} \right]_{1}^{a}$$ $$= \left(\frac{a^2}{2} + \frac{a}{2}\right) – \left(\frac{1^2}{2} + \frac{1}{2}\right)$$ $$= \left(\frac{a^2}{2} + \frac{a}{2}\right) – \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)$$ $$= \left(\frac{a^2}{2} + \frac{a}{2}\right) – 1$$ $$= \frac{a^2}{2} + \frac{a}{2} – 1$$

2- حساب التكامل الثاني:

نعلم أن:

$$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$$

إذن التكامل المحدد:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx = \left[ \tan x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$$ $$= \tan \frac{\pi}{4} – \tan 0$$ $$= 1 – 0 = 1$$

وبما أن التكامل الثاني مضروب في 2:

$$2 \times 1 = 2$$

3- إيجاد قيمة $a$:

من المعادلة:

$$\frac{a^2}{2} + \frac{a}{2} – 1 = 2$$

نضرب الطرفين في 2 للتخلص من الكسر:

$$a^2 + a – 2 = 4$$ $$a^2 + a – 6 = 0$$

نحلل المعادلة التربيعية:

$$(a + 3)(a – 2) = 0$$

إذن:

$$a + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -3$$ $$a – 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 2$$

الإجابة النهائية:

$$a = 2 \quad \text{أو} \quad a = -3$$

السؤال: الرقم 6

جد قيمة التكامل:

$$\int_{0}^{4} x (x – 1) (x – 2) dx$$

الحل:

الخطوة 1: فكّ توزيع الحدود

نوزّع الحدود داخل التكامل:

$$x (x – 1) (x – 2)$$

أولًا نضرب $(x – 1)(x – 2)$:

$$(x – 1)(x – 2) = x^2 – 3x + 2$$

ثم نضرب في $x$:

$$x(x^2 – 3x + 2) = x^3 – 3x^2 + 2x$$

الخطوة 2: حساب التكامل

نحسب تكامل كل حد على حدة:

$$\int_{0}^{4} (x^3 – 3x^2 + 2x) dx$$

نحسب تكامل كل حد:

• $\int x^3 dx = \frac{x^4}{4}$
• $\int -3x^2 dx = -x^3$
• $\int 2x dx = x^2$

إذن التكامل يصبح:

$$\left[ \frac{x^4}{4} – x^3 + x^2 \right]_{0}^{4}$$

الخطوة 3: التعويض بالحدود

نحسب عند $x = 4$:

$$\frac{4^4}{4} – 4^3 + 4^2$$ $$= \frac{256}{4} – 64 + 16$$ $$= 64 – 64 + 16 = 16$$

وعند $x = 0$:

$$\frac{0^4}{4} – 0^3 + 0^2 = 0$$

إذن:

$$16 – 0 = 16$$

الإجابة النهائية:

$$\int_{0}^{4} x (x – 1) (x – 2) dx = 16$$
$\mathrm{}$$b = 2$