الفصل الرابع – مراجعة مشتقات و تكاملات الدوال اللوغارتمية و الاسية

مشتقات و تكاملات الدوال اللوغارتمية و الاسية

1. مشتقات الدوال الأسية واللوغارتمية

✅ مشتقة الدالة الأسية:

$$\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a$$ $$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$

✅ مشتقة الدالة اللوغارتمية:

$$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}, \quad x > 0$$ $$\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}$$

✅ مشتقة اللوغاريتم المركب:

$$\frac{d}{dx} \ln f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}$$

✅ مشتقة الدالة الأسية المركبة:

$$\frac{d}{dx} e^{f(x)} = e^{f(x)} f'(x)$$

2. تكاملات الدوال الأسية واللوغارتمية

✅ تكامل الدالة الأسية:

$$\int e^x \,dx = e^x + C$$ $$\int a^x \,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \quad a > 0, a \neq 1$$

✅ تكامل الدالة اللوغارتمية:

$$\int \ln x \,dx = x \ln x – x + C$$

✅ تكامل اللوغاريتم المركب (بالتجزئة):

$$\int \ln f(x) \,dx = x \ln f(x) – \int \frac{x f'(x)}{f(x)} \,dx$$

✅ تكامل الدالة الأسية المركبة:

$$\int e^{f(x)} f'(x) \,dx = e^{f(x)} + C$$

السؤال:

إذا كانت:

$$y = \ln(2 – \cos x)$$

فأوجد المشتقة $\frac{dy}{dx}$.

الحل:

لحساب المشتقة، نستخدم قاعدة مشتقة اللوغاريتم المركب:

$$\frac{d}{dx} \ln f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}$$

حيث:

$$f(x) = 2 – \cos x$$

1. نحسب مشتقة $f(x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} (2 – \cos x)$$

بما أن مشتقة الثابت (2) تساوي صفر، ومشتقة $\cos x$ هي $-\sin x$، نحصل على:

$$f'(x) = 0 + \sin x = \sin x$$

2. نطبق قاعدة مشتقة اللوغاريتم:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{\sin x}{2 – \cos x}$$

الإجابة النهائية:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{2 – \cos x}$$

السؤال:

إذا كانت:

$$y = e^{x^2} \cdot \ln |2x|$$

فأوجد المشتقة $\frac{dy}{dx}$.

الحل:

بما أن $y$ هو حاصل ضرب دالتين:

• $u = e^{x^2}$
• $v = \ln |2x|$

فإننا نستخدم قاعدة ضرب المشتقات:

$$\frac{d}{dx} (u v) = u’ v + u v’$$

1. نحسب مشتقة $u = e^{x^2}$:

باستخدام قاعدة مشتقة الدالة الأسية المركبة:

$$\frac{d}{dx} e^{x^2} = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx} (x^2) = e^{x^2} \cdot 2x$$

2. نحسب مشتقة $v = \ln |2x|$:

نستخدم قاعدة مشتقة اللوغاريتم:

$$\frac{d}{dx} \ln |2x| = \frac{1}{2x} \cdot \frac{d}{dx} (2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$$

3. نطبق قاعدة الضرب:

$$\frac{dy}{dx} = (2x e^{x^2}) \cdot \ln |2x| + e^{x^2} \cdot \frac{1}{x}$$

تبسيط الناتج:

$$\frac{dy}{dx} = 2x e^{x^2} \ln |2x| + \frac{e^{x^2}}{x}$$

الإجابة النهائية:

$$\frac{dy}{dx} = 2x e^{x^2} \ln |2x| + \frac{e^{x^2}}{x}$$