المحاضرة الثانية – مراجعة حل المعادلات التفاضلية الضمنية

📌 حل المعادلات التفاضلية الضمنية

عندما تكون المعادلة التفاضلية معطاة ضمن علاقة ضمنية بدلاً من شكلها الصريح $y = f(x)$، فإن الحل يتطلب استخدام التفاضل الضمني أو طرق أخرى مثل طريقة الفصل أو طريقة المعادلات التامة.

🔹 خطوات حل المعادلة التفاضلية الضمنية

1. اشتقاق طرفي المعادلة ضمنيًا باستخدام قاعدة السلسلة، بحيث نحصل على تعبير يحتوي على $\frac{dy}{dx}$.
2. إعادة ترتيب المعادلة لاستخراج $\frac{dy}{dx}$.
3. حل المعادلة التفاضلية باستخدام طريقة مناسبة (فصل المتغيرات، المعادلات التامة، التكامل المباشر…).
4. (اختياري) إيجاد الحل الصريح $y = f(x)$ إذا كان ذلك ممكنًا.

🔹 مثال 1: حل المعادلة الضمنية

🎯 المعادلة:

$$x^2 + y^2 = 4$$

نريد إيجاد المشتقة $\frac{dy}{dx}$.

📌 الحل باستخدام التفاضل الضمني:

1. نشتق طرفي المعادلة بالنسبة لـ $x$:

   $$\frac{d}{dx} (x^2) + \frac{d}{dx} (y^2) = \frac{d}{dx} (4)$$

2. باستخدام قاعدة السلسلة:

   $$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

3. حل المعادلة لإيجاد $\frac{dy}{dx}$:

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{y}$$

✅ النتيجة:

المعادلة التفاضلية المرتبطة بالعلاقة الضمنية هي:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

🔹 مثال 2: إيجاد الحل العام لمعادلة ضمنية

🎯 المعادلة التفاضلية:

$$(x^2 + y^2) \frac{dy}{dx} = xy$$

📌 الحل باستخدام طريقة فصل المتغيرات:

1. فصل المتغيرات:

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$$نعيد ترتيبها:

   $$\frac{x^2 + y^2}{xy} dy = dx$$

2. تكامل الطرفين:
   • هذا النوع من التكامل قد يتطلب استخدام التكامل بالتعويض أو التحليل، وإذا أردت حله بالتفصيل يمكنني توضيحه أكثر.

🔹 ملاحظات هامة عند التعامل مع المعادلات الضمنية

• أحيانًا لا يمكن كتابة $y$ بدلالة $x$ مباشرة، لذا يبقى الحل ضمنيًا.
• يمكن استخدام التفاضل الضمني عندما تحتوي المعادلة على $y$ و $x$ متداخلين.
• بعض المعادلات تتطلب التحليل أو التعويض الذكي لحلها.

📌 السؤال: رقم 11

تحقق مما إذا كانت الدالة:

$$2x^2 + y^2 = 1$$

هي حل للمعادلة التفاضلية:

$$y \frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = -2$$

📌 الحل:

1. إيجاد المشتقة الأولى $\frac{dy}{dx}$

لدينا المعادلة:

$$2x^2 + y^2 = 1$$

نشتق الطرفين ضمنيًا بالنسبة إلى $x$:

$$\frac{d}{dx} (2x^2) + \frac{d}{dx} (y^2) = \frac{d}{dx} (1)$$

باستخدام قاعدة السلسلة:

$$4x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

نقسم على 2:

$$2x + y \frac{dy}{dx} = 0$$

نحل لإيجاد $\frac{dy}{dx}$:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$$

2. إيجاد المشتقة الثانية $\frac{d^2y}{dx^2}$

نشتق $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$ ضمنيًا باستخدام قاعدة القسمة:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(-2y) \cdot 1 – (-2x) \cdot \frac{dy}{dx}}{y^2}$$

نعوض $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2y + (2x \cdot \frac{2x}{y})}{y^2}$$ $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2y + \frac{4x^2}{y}}{y^2}$$ $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2y^2 + 4x^2}{y^3}$$

3. التحقق من المعادلة التفاضلية

المعادلة الأصلية:

$$y \frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = -2$$

نعوض القيم التي حسبناها:

$$y \left( \frac{-2y^2 + 4x^2}{y^3} \right) + \left( -\frac{2x}{y} \right)^2 = -2$$

نحسب الحد الأول:

$$\frac{-2y^3 + 4x^2 y}{y^3} = -2 + \frac{4x^2 y}{y^3} = -2 + \frac{4x^2}{y^2}$$

نحسب الحد الثاني:

$$\frac{4x^2}{y^2}$$

إذن المعادلة تصبح:

$$-2 + \frac{4x^2}{y^2} + \frac{4x^2}{y^2} = -2$$ $$-2 + \frac{8x^2}{y^2} = -2$$

بما أن $x^2, y^2$ غير منعدمين عمومًا، فهذا لا يتحقق دائمًا.

✅ النتيجة:

إذن، الدالة $2x^2 + y^2 = 1$ ليست حلاً للمعادلة التفاضلية:

$$y\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2=-2$$

$$y \frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = -2$$

📌 السؤال: رقم 14

تحقق مما إذا كانت الدالة:

$$\ln |y| = x^2 + C$$

هي حل للمعادلة التفاضلية:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = 4x^2 y + 2y$$

📌 الحل:

1. إيجاد $y$ بدلالة $x$

نعيد كتابة المعادلة:

$$\ln |y| = x^2 + C$$

نأخذ الأس للطرفين:

$$|y| = e^{x^2 + C}$$

وبما أن $e^C$ هو ثابت جديد $C’$، يمكننا كتابة:

$$y = C’ e^{x^2}$$

2. حساب المشتقات

المشتقة الأولى $\frac{dy}{dx}$:

نشتق $y = C’ e^{x^2}$:

$$\frac{dy}{dx} = C’ e^{x^2} \cdot 2x = 2x y$$

المشتقة الثانية $\frac{d^2y}{dx^2}$:

نشتق مرة أخرى:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = 2y + 4x^2 y$$

3. التحقق من المعادلة التفاضلية

المعادلة الأصلية:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = 4x^2 y + 2y$$

وبما أن الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن، فإن المعادلة محققة.

✅ النتيجة:

إذن، الدالة $\ln |y| = x^2 + C$ هي حل صحيح للمعادلة التفاضلية:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = 4x^2 y + 2y$$

📌 السؤال: رقم 18

حل المعادلة التفاضلية التالية:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{x – 1}{y}$$

📌 الحل باستخدام طريقة فصل المتغيرات:

1. فصل المتغيرات

نعيد ترتيب المعادلة بحيث تكون جميع الحدود التي تحتوي على $y$ في طرف، والتي تحتوي على $x$ في الطرف الآخر:

$$y \, dy = (x – 1) \, dx$$

2. التكامل للطرفين

نحسب التكامل لكلا الطرفين:

$$\int y \, dy = \int (x – 1) \, dx$$

تكامل الطرف الأيسر:

$$\int y \, dy = \frac{y^2}{2}$$

تكامل الطرف الأيمن:

$$\int (x – 1) \, dx = \frac{x^2}{2} – x$$

إذن:

$$\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} – x + C$$

3. إيجاد الحل العام

نضرب الطرفين في 2 للتخلص من الكسر:

$$y^2 = x^2 – 2x + C’$$

حيث $C’ = 2C$ هو ثابت جديد.

✅ الحل النهائي:

$$y^2 = x^2 – 2x + C$$

وهو الحل العام للمعادلة التفاضلية. 🚀