المحاضرة 20/ القطع الناقص/ أسئلة تعتمد ع رسم

“جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ $y^2 – 16x = 0$ ومجموع بعدي أي نقطة عن البؤرتين $24$ وحدة.”

لحل المسألة، نحتاج إلى إيجاد معادلة القطع الناقص وفقًا للمعطيات التالية:

1. مركز القطع الناقص هو نقطة الأصل $(0,0)$.
2. إحدى بؤرتي القطع الناقص هي بؤرة القطع المكافئ المعطى $y^2 – 16x = 0$.
3. مجموع بعدي أي نقطة على القطع الناقص عن البؤرتين يساوي 24 وحدة.

الخطوات:

أولًا: إيجاد بؤرة القطع المكافئ

المعادلة المعطاة للقطع المكافئ هي:

$$y^2 = 16x$$

وهي من الشكل القياسي للقطع المكافئ:

$$y^2 = 4px$$

بمقارنة المعادلتين نجد أن:

$$4p = 16 \Rightarrow p = 4$$

بؤرة القطع المكافئ تقع عند:

$$(4,0)$$

ثانيًا: تحديد بؤرتي القطع الناقص

نظرًا لأن مركز القطع الناقص هو الأصل (0,0) وأحد بؤرتيه عند (4,0)، فإن البؤرة الثانية تقع متماثلة عند (-4,0).

إذن، بؤرتا القطع الناقص هما:

$$F_1(4,0), \quad F_2(-4,0)$$

وهذا يعني أن البعد البؤري $2c$ يساوي $8$، أي:

$$c = 4$$

ثالثًا: حساب المحور الأكبر $2a$

نعلم أن مجموع بعدي أي نقطة عن البؤرتين هو 24، وهو يساوي طول المحور الأكبر $2a$:

$$2a = 24 \Rightarrow a = 12$$

رابعًا: حساب المحور الأصغر $b$

علاقة المحاور في القطع الناقص:

$$c^2 = a^2 – b^2$$

بالتعويض بالقيم:

$$4^2 = 12^2 – b^2$$ $$16 = 144 – b^2$$ $$b^2 = 128$$

خامسًا: كتابة معادلة القطع الناقص

بما أن المحور الأكبر أفقي (لأن البؤرتين على المحور x)، فإن المعادلة تكون على الشكل:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

بالتعويض بالقيم:

$$\frac{x^2}{144} + \frac{y^2}{128} = 1$$

الإجابة النهائية:

$$\frac{x^2}{144} + \frac{y^2}{128} = 1$$