المحاضرة 21/ القطع الناقص/ أسئلة تعتمد ع رسم

جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل ويقطع من محور السينات جزءًا طوله (8) وحدات، ويقطع من محور الصادات جزءًا طوله (12) وحدة.

لحل هذا السؤال، نستخدم معادلة القطع الناقص التي يكون مركزه عند نقطة الأصل (0,0) ومحاوره متطابقة مع المحاور الإحداثية:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

حيث:

• $2a$ هو طول الجزء المقطوع من محور السينات.
• $2b$ هو طول الجزء المقطوع من محور الصادات.

معطيات السؤال:

• $2a = 8$ ⟹ $a = \frac{8}{2} = 4$.
• $2b = 12$ ⟹ $b = \frac{12}{2} = 6$.

تعويض القيم في معادلة القطع الناقص:

$$\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{6^2} = 1$$ $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{36} = 1$$

وهذه هي معادلة القطع الناقص المطلوبة.

“جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل ويفتقد محوره على المحورين الإحداثيين ويقطع من محور السينات جزءًا طوله (8) وحدات ومساحة منطقته $24\pi$ وحدة مساحة.”

لحل المسألة، نحتاج إلى إيجاد معادلة القطع الناقص الذي تنطبق مواصفاته على المعطيات المذكورة.

الخطوة 1: صياغة معادلة القطع الناقص

معادلة القطع الناقص القياسي الذي مركزه نقطة الأصل، ومحاوره منطبقة على المحورين الإحداثيين هي:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

حيث:

• $a$ هو نصف المحور الأكبر.
• $b$ هو نصف المحور الأصغر.

الخطوة 2: إيجاد قيمة $a$

المعطى أن القطع الناقص يقطع من محور السينات جزءًا طوله 8، أي أن المحور الأكبر يساوي 8، وبالتالي نصف المحور الأكبر هو:

$$a = \frac{8}{2} = 4$$

الخطوة 3: إيجاد قيمة $b$ باستخدام المساحة

مساحة القطع الناقص تُحسب وفق العلاقة:

$$\text{المساحة} = \pi \times a \times b$$

وبما أن المساحة المعطاة هي $24\pi$، فإن:

$$\pi \times 4 \times b = 24\pi$$

نقسم الطرفين على $\pi$:

$$4b = 24$$ $$b = \frac{24}{4} = 6$$

الخطوة 4: كتابة المعادلة النهائية

بالتعويض بالقيم $a = 4$ و $b = 6$ في معادلة القطع الناقص:

$$\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{6^2} = 1$$ $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{36} = 1$$

الإجابة النهائية

$$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{36} = 1$$

“جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل ويمر ببؤرة القطع المكافئ $y^2 = 16x$ ومساحة منطقته $20\pi$ وحدة مساحة.”

لحل السؤال، سنتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد البؤرة للقطع المكافئ

معادلة القطع المكافئ المعطاة هي:

$$y^2 = 16x$$

وهذه المعادلة تمثل قطعًا مكافئًا يكون محوره الأفقي، وصيغته العامة:

$$y^2 = 4ax$$

بمقارنة المعادلة المعطاة مع الصيغة العامة:

$$4a = 16 \Rightarrow a = 4$$

البؤرة للقطع المكافئ تكون عند:

$$(4,0)$$

2. افتراض معادلة القطع الناقص

بما أن القطع الناقص مركزه نقطة الأصل ويمر بالبؤرة (4,0)، فإن هذه النقطة تمثل قيمة $c$ في القطع الناقص، حيث:

$$c = 4$$

الصيغة العامة للقطع الناقص الذي محوره الأفقي هي:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

وفي القطع الناقص، هناك علاقة بين $a$ و $b$ و $c$:

$$c^2 = a^2 – b^2$$

أي:

$$4^2 = a^2 – b^2$$ $$16 = a^2 – b^2$$

3. استخدام معطى المساحة

مساحة القطع الناقص تُحسب باستخدام القانون:

$$\text{المساحة} = \pi a b$$

وبما أن المساحة المعطاة هي:

$$20\pi$$

فإننا نحصل على:

$$\pi a b = 20\pi$$ $$a b = 20$$

4. حل المعادلتين لإيجاد $a$ و $b$

لدينا المعادلتين:

1. $a^2 – b^2 = 16$
2. $a b = 20$

إيجاد $a$ و $b$

من المعادلة الثانية:

$$b = \frac{20}{a}$$

نعوض في المعادلة الأولى:

$$a^2 – \left(\frac{20}{a}\right)^2 = 16$$

نضرب في $a^2$ للتخلص من المقام:

$$a^4 – 400 = 16a^2$$

نرتب المعادلة:

$$a^4 – 16a^2 – 400 = 0$$

نضع $x = a^2$، فتتحول إلى:

$$x^2 – 16x – 400 = 0$$

نحللها باستخدام القانون العام:

$$x = \frac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^2 – 4(1)(-400)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 1600}}{2}$$ $$x = \frac{16 \pm \sqrt{1856}}{2}$$ $$x = \frac{16 \pm 43.1}{2}$$

نأخذ القيم الموجبة فقط:

$$x = \frac{16 + 43.1}{2} = \frac{59.1}{2} \approx 29.55$$ $$x = \frac{16 – 43.1}{2} = \frac{-27.1}{2} \quad \text{(مرفوض لأن \( a^2 \) يجب أن يكون موجبًا)}$$

إذن:

$$a^2 \approx 29.55 \Rightarrow a \approx \sqrt{29.55} \approx 5.44$$

ونحسب $b$:

$$b = \frac{20}{5.44} \approx 3.68$$

5. كتابة معادلة القطع الناقص

$$\frac{x^2}{(5.44)^2} + \frac{y^2}{(3.68)^2} = 1$$

أو بالتقريب:

$$\frac{x^2}{29.55} + \frac{y^2}{13.58} = 1$$

إذن معادلة القطع الناقص هي:

$$\frac{x^2}{29.55} + \frac{y^2}{13.58} = 1$$