أسئلة عن ايجاد المجهول للقطع الزائد

السؤال:

“قطع زائد معادلته $x^2 – h y^2 = 3$ إحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ $y^2 = 8x$. جد قيمة $h$ حيث $h \in \mathbb{R}$.”

لحل هذا السؤال، سنعتمد على إيجاد بؤرة كل من القطع الزائد $x^2 – h y^2 = 3$ والقطع المكافئ $y^2 = 8x$، ثم نستخدم المعطى بأن إحدى بؤرتي القطع الزائد تطابق بؤرة القطع المكافئ.

الخطوة 1: إيجاد بؤرة القطع المكافئ $y^2 = 8x$

معادلة القطع المكافئ من النموذج القياسي:

$$y^2 = 4ax$$

بمقارنتها مع المعادلة المعطاة $y^2 = 8x$، نجد:

$$4a = 8 \Rightarrow a = 2$$

بؤرة القطع المكافئ تكون عند النقطة:

$$( a , 0 ) = (2,0)$$

الخطوة 2: إيجاد بؤرة القطع الزائد $x^2 – h y^2 = 3$

المعادلة القياسية للقطع الزائد هي:

$$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$$

بمقارنتها مع المعادلة المعطاة $x^2 – h y^2 = 3$، نقسم الطرفين على 3:

$$\frac{x^2}{3} – \frac{y^2}{3/h} = 1$$

بالتالي:

$$a^2 = 3, \quad b^2 = \frac{3}{h}$$

بؤرتا القطع الزائد تقعان عند:

$$(\pm c, 0)$$

حيث $c$ يُحسب من العلاقة:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

بالتعويض:

$$c^2 = 3 + \frac{3}{h}$$

بما أن إحدى بؤرتي القطع الزائد تطابق بؤرة القطع المكافئ $(2,0)$، فإن:

$$c = 2$$

إذن:

$$4 = 3 + \frac{3}{h}$$

الخطوة 3: إيجاد $h$

نحل المعادلة:

$$4 – 3 = \frac{3}{h}$$ $$1 = \frac{3}{h}$$ $$h = 3$$

الإجابة النهائية:

$$h = 3$$

السؤال :

قطع زائد معادلته:
$5y^2 – 4x^2 = k$

احداثي بؤرتي هايبرولة القطع المتكافئ

جد قيمة $k$ إذا كان $4y – \sqrt{5} x^2 = 0$ و $k \in \mathbb{R}$.

لحل السؤال، نتبع الخطوات التالية:

1- تحليل معادلة القطع الزائد

المعادلة المعطاة هي:

$$5y^2 – 4x^2 = k$$

وهي على الشكل العام لمعادلة القطع الزائد:

$$\frac{y^2}{a^2} – \frac{x^2}{b^2} = 1$$

بمقارنة المعادلتين، نجد أن:

$$\frac{5y^2}{k} – \frac{4x^2}{k} = 1$$

وبقسمة كل حد على $k$، نحصل على:

$$\frac{y^2}{k/5} – \frac{x^2}{k/4} = 1$$

وبالتالي:

$$a^2 = \frac{k}{5}, \quad b^2 = \frac{k}{4}$$

2- حساب البؤرتين

البؤرتان في القطع الزائد تكون عند:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

وبالتعويض:

$$c^2 = \frac{k}{5} + \frac{k}{4}$$

بتوحيد المقامات:

$$c^2 = \frac{4k}{20} + \frac{5k}{20} = \frac{9k}{20}$$

وبأخذ الجذر:

$$c = \sqrt{\frac{9k}{20}} = \frac{3\sqrt{k}}{\sqrt{20}} = \frac{3\sqrt{k}}{2\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5k}}{10}$$

إحداثيات البؤرتين هي:

$$(0, \pm \frac{3\sqrt{5k}}{10})$$

3- إيجاد قيمة $k$

المعادلة الثانية المعطاة:

$$4y – \sqrt{5} x^2 = 0$$

يمكن إعادة كتابتها على الشكل:

$$4y = \sqrt{5} x^2$$

بما أن هذه معادلة قطع مكافئ، فإن المعادلة العامة للقطع المكافئ الذي محوره رأسي هي:

$$y = \frac{1}{4p} x^2$$

بالمقارنة نجد أن:

$$4p = \frac{4}{\sqrt{5}} \Rightarrow p = \frac{1}{\sqrt{5}}$$

ونعلم أن بؤرة القطع المكافئ تقع عند $(0, p)$ أي:

$$\left( 0, \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$$

بما أن هذا هو نفس البؤرة الموجودة في القطع الزائد، فإن:

$$\frac{3\sqrt{5k}}{10} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$

نربع الطرفين:

$$\frac{9(5k)}{100} = \frac{1}{5}$$ $$\frac{45k}{100} = \frac{1}{5}$$

نضرب في 100:

$$45k = 20$$ $$k = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$$

الإجابة النهائية:

$$\mathbf{k = \frac{4}{9}}$$

السؤال المستخرج من الصورة هو:

“قطع زائد معادلته $18 = h x^2 – 9y^2$ ومركزه نقطة الأصل ويمر ببؤرة القطع المكافئ $x = \frac{1}{4\sqrt{3}} y^2$ ، جد قيمة $h$ حيث $h \in \mathbb{R}$؟”

لحل السؤال وإيجاد قيمة $h$، نتبع الخطوات التالية:

1- إعادة ترتيب معادلة القطع الزائد

معادلة القطع الزائد المعطاة:

$$18 = h x^2 – 9y^2$$

بترتيبها على الشكل القياسي:

$$h x^2 – 9y^2 = 18$$

ثم بقسمة طرفي المعادلة على 18:

$$\frac{h}{18} x^2 – \frac{9}{18} y^2 = 1$$ $$\frac{h}{18} x^2 – \frac{1}{2} y^2 = 1$$

2- إيجاد بؤرة القطع المكافئ

المعادلة المعطاة للقطع المكافئ هي:

$$x = \frac{1}{4\sqrt{3}} y^2$$

وهذه المعادلة من الشكل القياسي:

$$x = \frac{1}{4p} y^2$$

بمقارنة الطرفين نجد:

$$\frac{1}{4p} = \frac{1}{4\sqrt{3}}$$

وبالتالي:

$$p = \sqrt{3}$$

حيث أن $p$ تمثل بعد البؤرة عن الرأس، أي أن البؤرة تقع عند:

$$(\sqrt{3}, 0)$$

3- حساب قيمة $h$

في القطع الزائد من الشكل:

$$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$$

حيث:

$$a^2 = \frac{18}{h}, \quad b^2 = 2$$

البؤرة في القطع الزائد تُحسب بالعلاقة:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

ومعطى أن البؤرة عند $(\sqrt{3}, 0)$، إذن:

$$c = \sqrt{3}$$

بالتالي:

$$(\sqrt{3})^2 = \frac{18}{h} + 2$$ $$3 = \frac{18}{h} + 2$$ $$3 – 2 = \frac{18}{h}$$ $$1 = \frac{18}{h}$$ $$h = 18$$

الإجابة النهائية

$$h = 18$$