المحاضرة 30 / ايجاد طولي نصفي قطري البؤرتين

السؤال :

س 35
أثبت أن النقطة $P(-5, \frac{9}{4})$ تنتمي للقطع الزائد

$$\frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1$$

ثم جد طوليا نصفي قطري البؤرتين المرسومين من النقطة $P$.

الحل:

الخطوة الأولى: التحقق من انتماء النقطة $P(-5, \frac{9}{4})$ للقطع الزائد

نعوض بالإحداثيات $x = -5$ و $y = \frac{9}{4}$ في معادلة القطع الزائد:

$$\frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1$$

حساب $\frac{x^2}{16}$:

$$x^2 = (-5)^2 = 25$$ $$\frac{x^2}{16} = \frac{25}{16}$$

حساب $\frac{y^2}{9}$:

$$y^2 = \left(\frac{9}{4}\right)^2 = \frac{81}{16}$$ $$\frac{y^2}{9} = \frac{81}{144} = \frac{9}{16}$$

حساب الفرق:

$$\frac{25}{16} – \frac{9}{16} = \frac{16}{16} = 1$$

بما أن الناتج 1، فإن النقطة $P(-5, \frac{9}{4})$ تنتمي للقطع الزائد.

الخطوة الثانية: إيجاد طول نصفي قطري البؤرتين المرسومين من النقطة $P$

إيجاد البؤرتين:

معادلة القطع الزائد المعطاة هي:

$$\frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1$$

منها نجد أن:

• $a^2 = 16 \Rightarrow a = 4$
• $b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$
• نحسب $c$ باستخدام العلاقة:

$$c^2 = a^2 + b^2$$ $$c^2 = 16 + 9 = 25$$ $$c = \sqrt{25} = 5$$

إحداثيات البؤرتين هي: $(\pm 5, 0)$ أي:
$F_1(5,0)$ و $F_2(-5,0)$.

إيجاد المسافات من النقطة $P(-5, \frac{9}{4})$ إلى البؤرتين

نحسب المسافتين باستخدام المسافة بين نقطتين:

$$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$

المسافة بين $P(-5, \frac{9}{4})$ و $F_1(5,0)$:

$$d_1 = \sqrt{(5 – (-5))^2 + \left(0 – \frac{9}{4}\right)^2}$$ $$= \sqrt{(5+5)^2 + \left(-\frac{9}{4}\right)^2}$$ $$= \sqrt{10^2 + \frac{81}{16}}$$ $$= \sqrt{100 + \frac{81}{16}}$$ $$= \sqrt{\frac{1600}{16} + \frac{81}{16}}$$ $$= \sqrt{\frac{1681}{16}}$$ $$= \frac{\sqrt{1681}}{4} = \frac{41}{4}$$

المسافة بين $P(-5, \frac{9}{4})$ و $F_2(-5,0)$:

$$d_2 = \sqrt{(-5 – (-5))^2 + \left(\frac{9}{4} – 0\right)^2}$$ $$= \sqrt{0 + \left(\frac{9}{4}\right)^2}$$ $$= \sqrt{\frac{81}{16}}$$ $$= \frac{9}{4}$$

الإجابة النهائية:

1. النقطة $P(-5, \frac{9}{4})$ تنتمي للقطع الزائد ✅.
2. طول نصف قطر البؤرة الأول المرسوم من النقطة $P$ إلى $F_1(5,0)$ هو $\frac{41}{4}$.
3. طول نصف قطر البؤرة الثاني المرسوم من النقطة $P$ إلى $F_2(-5,0)$ هو $\frac{9}{4}$.

السؤال:

النقطة $P(6,1)$ تنتمي للقطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل ومعادلته $x^2 – 3y^2 = 12$. جد قيمة $L$. ثم جد طول نصف القطر البؤري من جهة اليمين.

حل السؤال خطوة بخطوة:

الخطوة 1: التحقق مما إذا كانت النقطة $P(6,1)$ تنتمي للقطع الزائد

نعوض بالنقطة $P(6,1)$ في معادلة القطع الزائد:

$$x^2 – 3y^2 = 12$$

بالتعويض بـ $x = 6$ و $y = 1$:

$$(6)^2 – 3(1)^2 = 36 – 3 = 33$$

بما أن $33 \neq 12$، فهذا يعني أن النقطة لا تنتمي إلى القطع الزائد، لذا قد يكون هناك خطأ في السؤال أو يجب تصحيح المعطيات.

الخطوة 2: إيجاد قيمة $L$

عادةً في سياق هذا النوع من الأسئلة، $L$ يرمز إلى طول نصف القطر البؤري، والذي يُحسب باستخدام العلاقة:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

حيث:

• معادلة القطع الزائد في الصورة القياسية هي:

  $$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$$بمقارنة هذه المعادلة مع المعادلة المعطاة $x^2 – 3y^2 = 12$، نقسم الطرفين على 12:

  $$\frac{x^2}{12} – \frac{y^2}{4} = 1$$ومنه:

  • $a^2 = 12$ ⇒ $a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
  • $b^2 = 4$ ⇒ $b = 2$

  والبعد البؤري يُحسب من:

  $$c^2 = a^2 + b^2$$ $$c^2 = 12 + 4 = 16$$ $$c = \sqrt{16} = 4$$إذن، طول نصف القطر البؤري من جهة اليمين هو $c = 4$.

الإجابة النهائية:

• النقطة لا تنتمي إلى القطع الزائد حسب الحسابات.
• قيمة $L$ (البعد البؤري من جهة اليمين) $L = 4$.