تكاملات المسافة اسئلة و تمارين / محاضرة 34

اسئلة و تمارين حول تكاملات المسافة

السؤال رقم 2  هو:

جسم يتحرك على خط مستقيم بسرعته $V(t) = (3t^2 – 6t + 3)$ m/s

1️⃣ جد المسافة المقطوعة في الفترة $[4,2]$.
2️⃣ جد الإزاحة المقطوعة في الفترة $[5,0]$.

لحل السؤال، سنستخدم التكامل لتحديد الإزاحة والمسافة المقطوعة بناءً على دالة السرعة المعطاة:

$$V(t) = 3t^2 – 6t + 3$$

أولًا: حساب المسافة المقطوعة في الفترة $[2,4]$

المسافة المقطوعة تُحسب بأخذ القيمة المطلقة للسرعة عند التكامل:

$$S = \int_{2}^{4} |V(t)| \, dt$$

ولكن يجب أولًا إيجاد الجذور حيث تكون السرعة سالبة لتحديد المناطق التي تحتاج إلى الفصل.

نحلل:

$$3t^2 – 6t + 3 = 0$$ $$t^2 – 2t + 1 = 0$$ $$(t – 1)^2 = 0 \Rightarrow t = 1$$

بما أن $t = 1$ ليس ضمن الفترة $[2,4]$، نتحقق من إشارة $V(t)$ بين 2 و 4:

• عند $t = 2$:

$$V(2) = 3(2)^2 – 6(2) + 3 = 3(4) – 12 + 3 = 12 – 12 + 3 = 3$$

• عند $t = 4$:

$$V(4) = 3(4)^2 – 6(4) + 3 = 3(16) – 24 + 3 = 48 – 24 + 3 = 27$$

بما أن السرعة موجبة في الفترة $[2,4]$، نحسب التكامل مباشرة:

$$S = \int_2^4 (3t^2 – 6t + 3) dt$$

نحسب التكامل:

$$\int (3t^2 – 6t + 3) dt = t^3 – 3t^2 + 3t$$

نقيمه بين 2 و 4:

$$S = \left[ (4)^3 – 3(4)^2 + 3(4) \right] – \left[ (2)^3 – 3(2)^2 + 3(2) \right]$$ $$= [64 – 48 + 12] – [8 – 12 + 6]$$ $$= (64 – 48 + 12) – (8 – 12 + 6)$$ $$= 28 – 2 = 26$$

إذًا المسافة المقطوعة = 26 مترًا.

ثانيًا: حساب الإزاحة في الفترة $[0,5]$

الإزاحة هي التكامل المباشر بدون القيم المطلقة:

$$D = \int_0^5 (3t^2 – 6t + 3) dt$$

نحسب التكامل:

$$D = \left[ t^3 – 3t^2 + 3t \right]_0^5$$ $$= \left( 5^3 – 3(5^2) + 3(5) \right) – \left( 0^3 – 3(0^2) + 3(0) \right)$$ $$= (125 – 75 + 15) – 0$$ $$= 65$$

إذًا الإزاحة المقطوعة = 65 مترًا.

في الرسم أعلاه، يظهر منحنى السرعة $V(t) = 3t^2 – 6t + 3$ باللون الأزرق. كما تم تحديد النقاط الزمنية المهمة (عند $t = 0, 2, 4, 5$) باللون الأحمر مع إحداثياتها.

• الخطوط العمودية المتقطعة تشير إلى الفترات الزمنية المطلوبة في المسألة.
• الإزاحة هي المساحة تحت المنحنى بين $t = 0$ و $t = 5$.
• المسافة المقطوعة تحسب من التكامل المطلق للسرعة بين $t = 2$ و $t = 4$.

يظهر أن السرعة موجبة في الفترة المدروسة، مما يجعل التكامل المباشر يمثل المسافة بدون الحاجة لأخذ القيم المطلقة.

السؤال هو:

س3 جسم يتحرك على خط مستقيم بتعجيل مقداره $18$ $m/s^2$، فإذا كانت سرعته قد أصبحت $82$ $m/s$ بعد مرور $4$ ثوانٍ من بدء الحركة، جد:

1. المسافة المقطوعة خلال الثانية الثالثة.
2. بعده عن نقطة بدء الحركة بعد مرور $3$ ثوانٍ.

حل السؤال:

معطيات السؤال:

• التعجيل (a): $18 \, m/s^2$
• السرعة النهائية (v): $82 \, m/s$
• الزمن (t): $4$ ثوانٍ
• السرعة الابتدائية (u): مجهولة

أولاً: إيجاد السرعة الابتدائية ($u$)

نستخدم معادلة الحركة:

$$v = u + at$$ $$82 = u + (18 \times 4)$$ $$82 = u + 72$$ $$u = 10 \, m/s$$

(1) إيجاد المسافة المقطوعة في الثانية الثالثة

المسافة المقطوعة خلال الثانية $n$ تُحسب بالعلاقة:

$$S_n = u + \frac{1}{2} a (2n – 1)$$

عند $n = 3$:

$$S_3 = 10 + \frac{1}{2} (18) (2(3) – 1)$$ $$S_3 = 10 + 9 \times 5$$ $$S_3 = 10 + 45 = 55 \, m$$

(2) إيجاد المسافة المقطوعة بعد 3 ثوانٍ

نستخدم معادلة الإزاحة:

$$S = ut + \frac{1}{2} a t^2$$ $$S = (10 \times 3) + \frac{1}{2} (18 \times 3^2)$$ $$S = 30 + \frac{1}{2} (18 \times 9)$$ $$S = 30 + \frac{1}{2} (162)$$ $$S = 30 + 81$$ $$S = 111 \, m$$

الإجابات النهائية:

1. المسافة المقطوعة في الثانية الثالثة = $55$ متر
2. البعد عن نقطة بدء الحركة بعد مرور 3 ثوانٍ = $111$ متر

السؤال 4 هو:

جسم يتحرك على خط مستقيم بتعجيل، فإذا كانت العجلة مقدارها

$$a = (4t + 12) \quad \text{m/s}^2$$

وكانت سرعته قد أصبحت

$$v = 90 \quad \text{m/s}$$

بعد مرور

$$4 \quad \text{ثوانٍ}$$

من بدء الحركة، جد:

1. السرعة عند $t = 2$.
2. المسافة المقطوعة في الفترة $[1,2]$.
3. الإزاحة بعد مضي $10$ ثوانٍ من بدء الحركة.

المعطيات:

• العجلة المتغيرة: $$a = (4t + 12) \quad \text{m/s}^2$$
• السرعة النهائية بعد $4$ ثوانٍ: $$v = 90 \quad \text{m/s} \quad \text{عند} \quad t = 4$$
• المطلوب:
  1. إيجاد السرعة عند $t = 2$.
  2. حساب المسافة المقطوعة في الفترة $t \in [1,2]$.
  3. حساب الإزاحة بعد $10$ ثوانٍ.

1- إيجاد السرعة عند $t = 2$:

بما أن العجلة تتغير مع الزمن، يمكن حساب السرعة باستخدام التكامل:

$$v = \int a \, dt = \int (4t + 12) \, dt$$ $$v = \frac{4t^2}{2} + 12t + C$$ $$v = 2t^2 + 12t + C$$

لإيجاد ثابت التكامل $C$، نستخدم المعطى أن $v = 90$ عند $t = 4$:

$$90 = 2(4)^2 + 12(4) + C$$ $$90 = 2(16) + 48 + C$$ $$90 = 32 + 48 + C$$ $$C = 90 – 80 = 10$$

إذن معادلة السرعة هي:

$$v = 2t^2 + 12t + 10$$

حساب السرعة عند $t = 2$:

$$v(2) = 2(2)^2 + 12(2) + 10$$ $$= 2(4) + 24 + 10$$ $$= 8 + 24 + 10 = 42 \quad \text{m/s}$$

2- حساب المسافة المقطوعة في الفترة $t \in [1,2]$:

المسافة المقطوعة تُحسب من تكامل السرعة:

$$s = \int v \, dt = \int (2t^2 + 12t + 10) \, dt$$ $$s = \frac{2t^3}{3} + \frac{12t^2}{2} + 10t$$ $$s = \frac{2}{3} t^3 + 6t^2 + 10t$$

نحسب المسافة بين $t = 2$ و $t = 1$:

$$s(2) = \frac{2}{3} (2)^3 + 6(2)^2 + 10(2)$$ $$= \frac{2}{3} (8) + 6(4) + 20$$ $$= \frac{16}{3} + 24 + 20$$ $$= \frac{16}{3} + 44 = \frac{148}{3} \approx 49.33 \quad \text{m}$$ $$s(1) = \frac{2}{3} (1)^3 + 6(1)^2 + 10(1)$$ $$= \frac{2}{3} (1) + 6(1) + 10$$ $$= \frac{2}{3} + 6 + 10$$ $$= \frac{2}{3} + 16 = \frac{50}{3} \approx 16.67 \quad \text{m}$$ $$\text{المسافة المقطوعة} = s(2) – s(1)$$ $$= \frac{148}{3} – \frac{50}{3} = \frac{98}{3} \approx 32.67 \quad \text{m}$$

3- حساب الإزاحة بعد 10 ثوانٍ:

لحساب الإزاحة، نستخدم معادلة الموضع:

$$s = \frac{2}{3} t^3 + 6t^2 + 10t$$

نحسب $s(10)$:

$$s(10) = \frac{2}{3} (10)^3 + 6(10)^2 + 10(10)$$ $$= \frac{2}{3} (1000) + 6(100) + 100$$ $$= \frac{2000}{3} + 600 + 100$$ $$= \frac{2000}{3} + 700 = \frac{4100}{3} \approx 1366.67 \quad \text{m}$$

الإجابات النهائية:

1. السرعة عند $t = 2$: $$v = 42 \quad \text{m/s}$$
2. المسافة المقطوعة في الفترة $[1,2]$: $$32.67 \quad \text{m}$$
3. الإزاحة بعد $10$ ثوانٍ: $$1366.67 \quad \text{m}$$