ايجاد قيم X , Y الحقيقيتين عند تساوي عددين مركبين- محاضرة 13

تمثل الأعداد المركبة امتدادًا للأعداد الحقيقية، حيث يتم استخدامها لحل المعادلات التي لا تمتلك حلولًا حقيقية. في بعض الحالات، يكون لدينا معادلتان لمجهولين $X$ و $Y$ في مجال الأعداد المركبة، ويمكن إيجاد قيمهما عن طريق مساواة الأجزاء الحقيقية والتخيلية للعددين المركبين. يهدف هذا التقرير إلى شرح كيفية إيجاد القيم الحقيقية لـ $X$ و $Y$ في حالة تساوي عددين مركبين، مع تقديم أمثلة توضيحية تناسب مستوى الصف السادس العلمي.

أولًا: مراجعة الأعداد المركبة

1. تعريف الأعداد المركبة
   العدد المركب $z$ يُكتب على الصورة:

   $$z = a + bi,$$حيث $a, b$ عددان حقيقيان و$i$ هو الوحدة التخيلية بحيث $i^2 = -1$.

2. أهمية الأعداد المركبة
   • توفر حلولًا للمعادلات التي ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الحقيقية.
   • تستخدم في التطبيقات الهندسية والفيزيائية مثل تحليل الإشارات والدوائر الكهربائية.
3. المبرهنة الأساسية في الجبر
   تنص هذه المبرهنة على أن كل معادلة حدودية من الدرجة $n$ لها $n$ جذور في $\mathbb{C}$ (مع العد بالتكرار)، مما يعني إمكانية تحليل أي كثير حدود إلى جداء عوامل خطية.

ثانيًا: إيجاد قيم $X$ و $Y$ عند تساوي عددين مركبين

القاعدة الأساسية: تفصيل أعمق

عند إعطاء معادلة تحتوي على عددين مركبين متساويين، يمكن إيجاد $X$ و $Y$ عن طريق مساواة الأجزاء الحقيقية والتخيلية لكل من الطرفين.

إذا كان لدينا عددان مركبان متساويان:

$$(A + Bi) = (C + Di)$$

فإن ذلك يعني أن:

$$A = C, \quad B = D.$$

ما تعنيه هذه القاعدة:

• الجزء الحقيقي في العدد المركب الأول يجب أن يساوي الجزء الحقيقي في العدد المركب الثاني.
• الجزء التخيلي (المعامل المضروب في $i$) في العدد المركب الأول يجب أن يساوي الجزء التخيلي في العدد المركب الثاني.
• هذا يؤدي إلى نظام من معادلتين خطيتين يمكن حلهما لإيجاد $X$ و $Y$.
• هذه القاعدة تعتمد على أن العددين المركبين يكونان متساويين فقط عندما تكون أجزاؤهما متطابقة تمامًا.

ثالثًا: أمثلة توضيحية

مثال 1: إيجاد $X$ و $Y$ من معادلة عددين مركبين

إذا كان لدينا المعادلة:

$$(3X – 2) + (Y + 4)i = 5 + 7i$$

الحل:

بمقارنة الأجزاء الحقيقية:

$$3X – 2 = 5.$$

بمقارنة الأجزاء التخيلية:

$$Y + 4 = 7.$$

نحلّ المعادلتين:

1. $3X = 7$ ⟹ $X = \frac{7}{3}$.
2. $Y = 7 – 4 = 3$.

النتيجة:

$X = \frac{7}{3}$, $Y = 3$.

مثال 2: إيجاد $X$ و $Y$ من عملية ضرب عددين مركبين

إذا كان لدينا:

$$(X + Yi) (2 + 3i) = 6 + 5i$$

الحل:

نوزع الضرب:

$$X(2 + 3i) + Yi(2 + 3i) = 6 + 5i.$$

وباستخدام التوزيع:

$$2X + 3Xi + 2Yi + 3Yi^2 = 6 + 5i.$$

وبما أن $i^2 = -1$، نستبدل $3Yi^2$ بـ $-3Y$:

$$2X + 3Xi + 2Yi – 3Y = 6 + 5i.$$

بمقارنة الأجزاء الحقيقية:

$$2X – 3Y = 6.$$

بمقارنة الأجزاء التخيلية:

$$3X + 2Y = 5.$$

نحل الجهاز المكوّن من المعادلتين:

1. $2X – 3Y = 6$.
2. $3X + 2Y = 5$.

لحل هذا الجهاز، نضرب المعادلة الأولى في 3 والثانية في 2:

$$6X – 9Y = 18.$$ $$6X + 4Y = 10.$$

نطرح المعادلتين:

$$(6X – 9Y) – (6X + 4Y) = 18 – 10.$$ $$-13Y = 8.$$ $$Y = -\frac{8}{13}.$$

نُعوّض في المعادلة الثانية:

$$3X + 2(-\frac{8}{13}) = 5.$$ $$3X – \frac{16}{13} = 5.$$ $$3X = \frac{81}{13}.$$ $$X = \frac{27}{13}.$$

النتيجة:

$X = \frac{27}{13}$, $Y = -\frac{8}{13}$.

رابعًا: أهمية هذا المفهوم في الصف السادس العلمي

• يعزز فهم الطلاب لكيفية التعامل مع المعادلات المركبة.
• يعد أداة ضرورية لفهم التحليل الرياضي والجبر.
• يستخدم في التطبيقات العملية في الهندسة والفيزياء والرياضيات المتقدمة.

الخاتمة

تمثل الأعداد المركبة جزءًا أساسيًا من الرياضيات الحديثة، وتمكننا من حل معادلات لا تقبل الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية. عند تساوي عددين مركبين، يمكننا إيجاد القيم الحقيقية للمجهولين $X$ و $Y$ بمقارنة الأجزاء الحقيقية والتخيلية بشكل منفصل، مما يسهل حل المعادلات المركبة بطريقة منظمة. هذه المهارة ضرورية لطلاب الصف السادس العلمي، حيث تفتح آفاقًا جديدة في الرياضيات المتقدمة والتطبيقات العلمية.