تكاملات الدوال اللوغارتمية والأسية / محاضرة 26

أسئلة و وزاريات حول موضوع تكاملات الدوال اللوغارتمية والأسية

السؤال هو:

احسب التكامل التالي:

$$\int \frac{x}{x^2+1} \, dx$$

لحل التكامل التالي:

$$I = \int \frac{x}{x^2+1} \, dx$$

الطريقة:

نلاحظ أن مشتقة المقام $x^2 + 1$ هي $2x$، وبما أن البسط هو $x$، يمكننا استخدام التعويض البسيط.

الخطوات:

1. نضع:

   $$u = x^2 + 1$$

2. نحسب المشتقة:

   $$du = 2x \, dx$$وبالتالي:

   $$\frac{du}{2} = x \, dx$$

3. بالتعويض في التكامل:

   $$I = \int \frac{x}{x^2+1} \, dx$$يصبح:

   $$I = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2}$$

4. سحب العامل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل:

   $$I = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u}$$

5. هذا تكامل مباشر:

   $$I = \frac{1}{2} \ln |u| + C$$

6. بإرجاع $u = x^2 + 1$:

   $$I = \frac{1}{2} \ln |x^2+1| + C$$

النتيجة النهائية:

$$\frac{1}{2} \ln |x^2+1| + C$$

حيث $C$ هو ثابت التكامل.

السؤال هو:

احسب التكامل التالي:

$$\int \frac{\cos 3x}{1+\sin 3x}dx$$

لحل التكامل التالي:

$$I = \int \frac{\cos 3x}{1 + \sin 3x} \, dx$$

الطريقة:

نستخدم التعويض المناسب لتبسيط التكامل.

1. نضع:

   $$u = 1 + \sin 3x$$

2. نحسب المشتقة:

   $$\frac{du}{dx} = 3 \cos 3x$$أي:

   $$du = 3 \cos 3x \, dx$$

3. نعيد ترتيب المعادلة:

   $$\frac{du}{3} = \cos 3x \, dx$$

4. بالتعويض في التكامل:

   $$I = \int \frac{\cos 3x}{1 + \sin 3x} \, dx$$يصبح:

   $$I = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{3}$$

5. سحب العامل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل:

   $$I = \frac{1}{3} \int \frac{du}{u}$$

6. هذا تكامل مباشر:

   $$I = \frac{1}{3} \ln |u| + C$$

7. بإرجاع $u = 1 + \sin 3x$:

   $$I = \frac{1}{3} \ln |1 + \sin 3x| + C$$

النتيجة النهائية:

$$\frac{1}{3} \ln |1 + \sin 3x| + C$$

حيث $C$ هو ثابت التكامل.