تمارين (1-6) السؤال الاول

السؤال:
برهن أن مستوي الزاوية المستوية العائدة لزاوية زوجية يكون عموديًا على حروفها.

البرهان:
لنفرض أن لدينا زاوية زوجية محددة بحرفين، حيث تشكل الزاوية المستوية العائدة لهذه الزاوية مستويًا معينًا.

• وفقًا لتعريف الزاوية المستوية العائدة، فإن هذا المستوي يحتوي على جميع النقاط المشتركة بين الزاويتين المتقابلتين الناتجتين عن الزاوية الأصلية.
• لتحديد عمودية هذا المستوي على الحروف، نأخذ مستقيمًا ضمن المستوي بحيث يكون عموديًا على المستوى عند نقطة التقاء الحروف.
• بناءً على خواص الهندسة الإقليدية، إذا كان هذا المستقيم عموديًا على المستوى، فإنه يكون عموديًا على أي مستقيمين ضمنه يمران بنفس النقطة.
• ونتيجة لذلك، يكون المستوي عموديًا على حروف الزاوية الزوجية.

وبهذا نثبت صحة البرهان.

السؤال:
برهن أنه إذا وازى مستقيم مستويًا وكان عموديًا على مستوٍ آخر، فإن المستويين متعامدان.

البرهان:

1. لنفرض أن لدينا مستقيمًا $L$ يوازي مستويًا $P$ ويكون في نفس الوقت عموديًا على مستوي آخر $Q$.
2. من تعريف التوازي، فإن المستقيم $L$ لا يتقاطع مع المستوي $P$.
3. بما أن المستقيم $L$ عمودي على المستوي $Q$، فهذا يعني أن جميع المستقيمات المنتمية إلى $Q$ والتي تمر بنقطة تقاطع $L$ مع $Q$ تكون متعامدة مع $L$.
4. بما أن $L$ يوازي $P$، فهذا يعني أن أي مستقيم ضمن $P$ يوازي $L$ لن يكون له أي زاوية ميل مع $L$، وبالتالي سيكون موازيًا لأي مستقيم في $P$ يقاطع $Q$.
5. نظرًا لأن المستقيمات في $Q$ عمودية على $L$، وأي مستقيم في $P$ موازي لـ $L$، فإن هذا يؤدي إلى أن جميع المستقيمات في $P$ تكون عمودية على $Q$، مما يعني أن المستويين $P$ و $Q$ متعامدان.

وبهذا نكون قد أثبتنا صحة البرهان.