مبرهنة ديموافر / محاضرة 29

تقرير حول مبرهنة ديموافر

مقدمة

تبرز الأعداد المركبة كأحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات، حيث تمتلك تطبيقات متعددة في الهندسة والفيزياء والتحليل الرياضي. وتُعد مبرهنة ديموافر من الأدوات المهمة في التعامل مع القوى والجذور للأعداد المركبة، حيث تتيح تبسيط العمليات الحسابية وتحليلها بفعالية. في هذا التقرير، سنناقش المبرهنة بالتفصيل، مع عرض صيغتها، تفسيرها الهندسي، وتطبيقاتها.

صياغة المبرهنة

تنص مبرهنة ديموافر على أنه لأي عدد مركب مكتوب في الصورة القطبية:

$$Z = r (\cos \theta + i \sin \theta)$$

فإن رفعه للقوة الصحيحة $n$ يُحسب باستخدام العلاقة:

$$Z^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$$

حيث:

• $r$ هو مقياس العدد المركب.
• $\theta$ هي السعة (الزاوية بالقياس الدائري).
• $n$ عدد صحيح (موجب أو سالب).

هذا القانون يختصر عملية ضرب العدد المركب بنفسه عدة مرات، حيث يتحول رفع العدد المركب إلى عملية رفع المقياس للأس والقسمة أو الضرب في الزاوية.

التفسير الهندسي للمبرهنة

هندسيًا، يمكن فهم مبرهنة ديموافر من خلال التفسير التالي:

1. عندما نرفع عددًا مركبًا إلى قوة $n$، فإن ذلك يؤثر على مقياسه وسعته:
   • المقياس $r$ يُرفع للأس $n$ أي أنه يتمدد أو يتقلص بناءً على قيمة $n$.
   • السعة $\theta$ تضرب في $n$، مما يؤدي إلى دوران العدد المركب حول الأصل بعدد معين من الدرجات.
2. هذا يعني أن رفع العدد المركب إلى قوة $n$ يعني تمديده وتدويره في المستوى العقدي.

تطبيقات المبرهنة

تُستخدم مبرهنة ديموافر في العديد من المجالات، منها:

1. حساب القوى لعدد مركب

إذا كان لدينا عدد مركب في الصورة القطبية، يمكننا حساب أي قوة له بسهولة.

مثال:

إذا كان $Z = 2 (\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ)$ ونريد إيجاد $Z^3$، نطبق المبرهنة:

$$Z^3 = 2^3 (\cos(3 \times 30^\circ) + i \sin(3 \times 30^\circ))$$ $$= 8 (\cos 90^\circ + i \sin 90^\circ)$$ $$= 8 (0 + i1) = 8i$$

2. إيجاد الجذور النونية للأعداد المركبة

لحساب الجذور النونية للعدد المركب، نستخدم العلاقة:

$$Z_k = r^{1/n} \left( \cos \frac{\theta + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\theta + 2\pi k}{n} \right), \quad k = 0, 1, 2, …, n-1$$

مثال:

لإيجاد الجذور التكعيبية للعدد $Z = 8 (\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)$، نستخدم:

$$Z_k = 2 (\cos \frac{60^\circ + 120^\circ k}{3} + i \sin \frac{60^\circ + 120^\circ k}{3})$$

وسنحصل على ثلاث جذور متميزة.

3. تطبيقات في الفيزياء والهندسة

تظهر مبرهنة ديموافر في عدة تطبيقات مثل:

• تحليل الإشارات الكهربائية والموجات.
• دراسة الدوائر الكهربائية ذات التيار المتردد.
• في الهندسة الميكانيكية عند تحليل الحركات الدائرية.
• في الجبر المجرد وتحليل الدوال العقدية.

الخاتمة

تبرز مبرهنة ديموافر كأداة رياضية قوية تسهل التعامل مع الأعداد المركبة، لا سيما عند حساب القوى والجذور. تساعد هذه المبرهنة في تحويل العمليات المعقدة إلى عمليات أبسط باستخدام المقياس والسعة، مما يجعلها مفيدة في العديد من التطبيقات العملية والهندسية. إن فهم هذه المبرهنة وتطبيقها يُعتبر أساسيًا في العديد من مجالات الرياضيات التطبيقية والهندسة والفيزياء.

السوأل الوزلري

تقرير عن حساب $(1 + i)^{11}$ باستخدام مبرهنة ديموافر

أولاً: التعريف مبرهنة ديموافر هي صيغة هامة في حساب قوى الأعداد المركبة، وتنص على أنه لأي عدد مركب بصيغة قطبية:

$$[r(\cos \theta + i\sin \theta)]^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$$

ثانيًا: تحويل العدد $(1+i)$ إلى الصيغة القطبية:

• المقدار (r): $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
• الزاوية (θ): $θ = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4}$

بالتالي: $1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+ i\sin\frac{\pi}{4}\right)$

ثالثًا: تطبيق مبرهنة ديموافر:

$$(1+i)^{11}=\left(\sqrt{2}\right)^{11}\left[\cos\left(11\times\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(11\times\frac{\pi}{4}\right)\right]$$

رابعًا: تبسيط الزاوية:

• نعلم أن: $\frac{11\pi}{4}=2\pi+\frac{3\pi}{4}$ وبسبب دورية الدوال المثلثية:

$$\cos\left(\frac{11\pi}{4}\right)=\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\frac{11\pi}{4}\right)=\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

خامسًا: التبسيط النهائي:

$$(1+i)^{11}=2^{\frac{11}{2}}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=32(-1+i)=-32+32i$$

النتيجة النهائية: $\boxed{-32+32i}$