مبرهنة ديموافر / محاضرة 30

تقرير حول حساب (-1 – i)^3 باستخدام مبرهنة ديموافر

المقدمة

تبرز مبرهنة ديموافر كأداة قوية في حساب الأعداد المركبة، خاصة عند رفعها إلى أسس صحيحة. يوضح هذا التقرير الخطوات التفصيلية لحساب (-1 – i)^3 باستخدام مبرهنة ديموافر.

خطوات الحساب

الخطوة الأولى: تحويل العدد المركب إلى الصورة القطبية

للتعبير عن العدد المركب (-1 – i) في الصورة القطبية، نحسب أولاً قيمته المطلقة:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$

حيث $x = -1$ و$y = -1$، وبالتالي:

$$r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$$

ثم نحسب الزاوية $\theta$:

$$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{y}{x} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{-1}{-1} \right) = \tan^{-1}(1)$$

وبما أن العدد المركب يقع في الربع الثالث، فإن الزاوية الصحيحة هي:

$$\theta = \frac{5\pi}{4}$$

وبالتالي، يمكن التعبير عن العدد المركب في الصورة القطبية على النحو التالي:

$$-1 – i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right)$$

الخطوة الثانية: تطبيق مبرهنة ديموافر

تنص مبرهنة ديموافر على أن:

$$(r (\cos \theta + i \sin \theta))^n = r^n (\cos (n\theta) + i \sin (n\theta))$$

عند $n = 3$:

$$(-1 – i)^3 = (\sqrt{2})^3 (\cos (3 \times \frac{5\pi}{4}) + i \sin (3 \times \frac{5\pi}{4}))$$

وبما أن:

$$(\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}$$

نحصل على:

$$(-1 – i)^3 = 2\sqrt{2} (\cos \frac{15\pi}{4} + i \sin \frac{15\pi}{4})$$

الخطوة الثالثة: تبسيط القيم المثلثية

بما أن:

$$\frac{15\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi$$

فإن قيم جيب التمام والجيب هي:

$$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

وبالتالي:

$$(-1 – i)^3 = 2\sqrt{2} \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$ $$= 2\sqrt{2} \times -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \times 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$= -2 + 2i$$

النتيجة النهائية

باستخدام مبرهنة ديموافر، نجد أن:

$$(-1 – i)^3 = -2 + 2i$$

الخاتمة

يوضح هذا التقرير فعالية مبرهنة ديموافر في تبسيط عمليات رفع الأعداد المركبة للأسس الصحيحة. من خلال تحويل العدد إلى الصورة القطبية، وتطبيق المبرهنة، واستخدام القيم المثلثية، تمكنّا من حساب النتيجة بسهولة وكفاءة.

السؤال الوزاري الاخر

تقرير عن حساب $(1 – \sqrt{-1})^{-3}$ باستخدام مبرهنة ديموافر

المقدمة

يهدف هذا التقرير إلى شرح الخطوات التفصيلية لحساب التعبير $(1 – \sqrt{-1})^{-3}$ باستخدام مبرهنة ديموافر. توفر هذه المبرهنة طريقة منهجية لحساب قوى الأعداد المركبة من خلال تحويلها إلى الصورة القطبية.

الخطوة 1: تحويل العدد المركب إلى الصورة القطبية

العدد المركب المعطى هو:

$$z = 1 – i$$

حيث $i = \sqrt{-1}$.

1.1 حساب المقياس $r$

يُحسب المقياس كما يلي:

$$r = |z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

1.2 حساب الزاوية $\theta$

باستخدام تعريف الظل:

$$\tan \theta = \frac{-1}{1} = -1$$

بما أن العدد المركب $(1, -1)$ يقع في الربع الرابع، فإن الزاوية هي:

$$\theta = -\frac{\pi}{4}$$

بالتالي، يمكن تمثيل العدد في الصورة القطبية:

$$z = \sqrt{2} \left( \cos \left(-\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{4} \right) \right)$$

الخطوة 2: حساب $(1 – i)^{-3}$ باستخدام مبرهنة ديموافر

تنص مبرهنة ديموافر على أنه لأي عدد مركب بالصورة القطبية $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$:

$$z^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$$

حيث أن $n = -3$:

1. حساب المقياس الجديد:

   $$r^{-3} = (\sqrt{2})^{-3} = 2^{-3/2} = \frac{1}{2^{3/2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

2. حساب الزاوية الجديدة:

   $$\theta’ = -3 \times \left(-\frac{\pi}{4} \right) = \frac{3\pi}{4}$$

بالتالي، يمكن كتابة النتيجة على الشكل:

$$z^{-3} = \frac{\sqrt{2}}{4} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right)$$

الخطوة 3: حساب القيم المثلثية

باستخدام القيم المثلثية المعروفة:

$$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

نستبدل القيم في المعادلة:

$$z^{-3} = \frac{\sqrt{2}}{4} \times \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$

الخطوة 4: التبسيط

$$z^{-3} = \frac{\sqrt{2}}{4} \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + i \frac{\sqrt{2}}{4} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$= \frac{-2}{8} + i \frac{2}{8}$$ $$= -\frac{1}{4} + i \frac{1}{4}$$

الاستنتاج

باستخدام مبرهنة ديموافر، نجد أن:

$$(1 – i)^{-3} = -\frac{1}{4} + i \frac{1}{4}$$

يثبت هذا الحساب أن رفع الأعداد المركبة إلى القوى يمكن إجراؤه بكفاءة من خلال تحويلها إلى الصورة القطبية واستخدام الحسابات المثلثية المناسبة.