محاضرة 14 / النوع الرابع / التعامد (اسئلة السلم)

السؤال الوزاري:

سلم طوله 10m يرتكز طرفه الأسفل على أرض أفقية وطرفه العلوي على حائط رأسي، فإذا انزلق الطرف الأسفل مبتعدًا عن الحائط بمعدل (2 m/s)، جد معدل انزلاق الطرف العلوي عندما يكون الطرف الأسفل على بعد 8m عن الحائط.

لحل هذا السؤال، نستخدم قاعدة المشتقات الضمنية ونطبق العلاقة بين أطوال المثلث القائم.

الخطوات:

1. تعريف الرموز:

• $x$ : المسافة بين أسفل السلم والحائط.
• $y$ : ارتفاع الطرف العلوي للسلم عن الأرض.
• $L$ : طول السلم = 10m (ثابت).
• معدل تغير $x$ مع الزمن: $\frac{dx}{dt} = 2$ m/s.
• مطلوب إيجاد معدل تغير $y$ مع الزمن: $\frac{dy}{dt}$، عندما يكون $x = 8$ m.

2. تطبيق نظرية فيثاغورس:

بما أن السلم يشكل مثلثًا قائمًا مع الحائط والأرض:

$$x^2 + y^2 = L^2$$ $$x^2 + y^2 = 10^2$$ $$x^2 + y^2 = 100$$

3. اشتقاق المعادلة بالنسبة للزمن $t$:

نشتق الطرفين بالنسبة للزمن $t$ باستخدام قاعدة السلسلة:

$$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$$

نقسم المعادلة على 2:

$$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$$

4. إيجاد قيمة $y$ عندما $x = 8$:

من معادلة فيثاغورس:

$$8^2 + y^2 = 100$$ $$64 + y^2 = 100$$ $$y^2 = 36$$ $$y = 6$$

5. حساب $\frac{dy}{dt}$:

نعوض القيم $x = 8$، $y = 6$، $\frac{dx}{dt} = 2$:

$$8(2) + 6 \frac{dy}{dt} = 0$$ $$16 + 6 \frac{dy}{dt} = 0$$ $$6 \frac{dy}{dt} = -16$$ $$\frac{dy}{dt} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3} \text{ m/s}$$

6. النتيجة النهائية:

$$\frac{dy}{dt} = -\frac{8}{3} \text{ m/s}$$

الإشارة السالبة تعني أن ارتفاع الطرف العلوي للسلم ينخفض مع الزمن.